Politechnika Śląska

Wydział Mechaniczny Technologiczny

Mechanika i Budowa Maszyn

Grupa 6

Temat ćw.: Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego.

Sekcja 10

Paweł Śliwiak

Roman Zawisz

Krzysztof Szymiczek

1. Wprowadzenie :

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego. Przy założeniu braku sił oporu powietrza, wartość tego przyspieszenia przy powierzchni ziemi wynosiłaby :

(1)

gdzie :

G - stała grawitacji,

M - masa Ziemi,

R_z - promień Ziemi.

Przyspieszenie ziemskie g maleje ze wzrostem wysokości. W ten sposób dochodzimy do konkluzji, że przyspieszenie ziemskie powinniśmy wyznaczać metodami doświadczalnymi.

Najprostszą metodą pomiaru przyspieszenia ziemskiego wydaje się sposób pomiaru czasu spadku swobodnego. Jednak nie daje on zadawalających wyników z powodu konieczności uwzględniania wielu poprawek (np. opór powietrza). Do precyzyjnych pomiarów g stosuje się tzw. grawimetry. My wyznaczamy przyspieszenie ziemskie za pomocą wahadła rewersyjnego.

Wahadłem fizycznym jest bryła drgająca wokół osi poziomej, ulokowanej powyżej środka ciężkości. Na bryłę wychyloną z położenia równowagi o kąt  działa moment siły:

(2)

We wzorze tym, b jest odległością osi obrotu od środka ciężkości. Równanie ruchu bryły zapiszemy w postaci:

(3)

gdzie:

I - moment bezwładności bryły względem osi obrotu,

 - przyspieszenie kątowe. Jeśli kąt wychylenia rośnie to przyspieszenie

kątowe maleje (stąd znak minus we wzorze).

Wzór na okres:

(4)

Przyrównując ten wzór do wzoru na okres wahadła matematycznego wprowadza się pojęcie długości zredukowanej wahadła fizycznego:

(5)

Wzór (4) nie pozwala jednak na bezpośrednie wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego, ze względu na kłopotliwy sposób określenia zarówno momentu bezwładności, jak i odległości b.

Problemów tych unikamy stosując tzw. wahadło rewersyjne, którego zasada działania opiera się na własności zwanej dwuosiowością wahadła fizycznego.

2. Zasada pomiaru przy pomocy wahadła rewersyjnego:

Asymetryczne wahadło rewersyjne złożone jest z pręta z nacięciami co 10 mm i dwóch ciężarków. Jeden z ciężarków jest zamocowany jako nieruchomy, drugi może być przesuwany wzdłuż osi wahadła. Zmiana położenia ciężarka powoduje zmianę usytuowania środka ciężkości oraz zmianę momentu bezwładności I₀. Pociąga to za sobą zmianę okresu drgań. Dla drugiego zawieszenia sytuacja jest analogiczna. Zasada wyznaczania przyśpieszenia ziemskiego sprowadza się do znalezienia takiego położenia ruchomego ciężarka, które odpowiada jednakowym okresom drgań dla obydwu zawieszeń wahadła rewersyjnego. Procedura dochodzenia do stanu odwracalności wahadła realizowana jest w etapach:

1) zmiana odległości x co 10 cm i pomiar okresu drgań dla obu zawieszeń,

2) sporządzenie wykresu i przybliżone oszacowanie położenia odwracalnego na

podstawie przecięcia parabol,

3) precyzyjne wyznaczenie okresu drgań, który odpowiada warunkowi odwracalności

T₀.

Przyśpieszenie ziemskie obliczamy wg wzoru:

(6)

gdzie l₀ jest odległością między zawieszeniami .

Zwiększenie dokładności pomiaru okresu drgań umożliwia zestaw wahadła uniwersalnego FPM-04, którego szkic widzimy na poniższym rysunku.

W podstawie osadzona jest kolumna (4 ) z dwoma wspornikami. Z jednej strony wspornika górnego ( 3 ) znajduje się wahadło matematyczne ( 1 ), a z drugiej - wahadło rewersyjne ( 5 ). Długość wahadła matematycznego można zmieniać za pomocą pokrętła ( 2 ). Wspornik może się obracać wokół kolumny. Na kolumnę naniesiono skalę. Wspornik dolny ( 6 ) posiada złącze optoelektryczne, pozwalające wraz z czasomierzem elektronicznym mierzyć czas wahań. Dokładność pomiaru czasu wynosi 0,02% wskazania. III. Przebieg ćwiczenia:

1. Mierzymy odległość między ostrzami wahadła .

2. Zawieszamy wahadło na ostrzu zamocowanym na końcu pręta. Wprowadzamy wahadło w ruch i mierzymy czas 10 okresów.

3. Zawieszamy wahadło na drugim ostrzu i ponownie mierzymy czas 10 okresów.

4. Wykonujemy czynności opisane wyżej dla położeń ciężarka zmienianego co 3 cm.

5. Rysujemy wykresy zależności okresu wahań od odległości ciężarka od ostrza A (dla obydwu sposobów zawieszenia). Z wykresu określamy położenie ciężarka, przy którym okresy drgań są jednakowe dla obu zawieszeń.

6. Ciężarek ustawiamy w położeniu określonym z wykresu i mierzymy czas 50 okresów dla obu zawieszeń wahadła. Takie pomiary należy powtarzać (zmieniając położenie ciężarka np. co 1 cm), aż do spełnienia warunku odwracalności wahadła.

7. Obliczamy przyśpieszenie ziemskie wg wzoru (6).

8. Przeprowadzamy rachunek błędów.

3. Obliczenia:

W wyniku szeregu pomiarów otrzymaliśmy następujące wyniki które umieszczamy w poniższej tabeli pomiarowej.

Liczba okresów n=10.

Długość wahadła (odległość między ostrzami) l=41,5 [cm].

Położenie x [cm]	Ostrze A		Ostrze B
		Czas t [s]	Okres T [s]	Czas t [s]	Okres T [s]
3	12,963	1,2963	12,963	1,2963
6	12,703	1,2703	12,574	1,2574
9	12,514	1,2514	12,185	1,2185
12	12,389	1,2389	11,81	1,181
15	12,315	1,2315	11,447	1,1447
18	12,289	1,2289	11,103	1,1103
21	12,307	1,2307	10,804	1,0804
24	12,361	1,2361	10,572	1,0572
27	12,449	1,2449	10,465	1,0465
30	12,566	1,2566	10,549	1,0549
33	12,705	1,2705	10,973	1,0973
36	12,854	1,2854	11,906	1,1906
39	13,034	1,3034	14,336	1,4336

Sporządzamy wykres zależności okresu wahań od odległości ciężarka od ostrza A (dla obydwu sposobów zawieszenia) T = f(x).

Błędy położenia x (oś X) nie zostały naniesione na wykres, ponieważ położenie to określaliśmy szacunkowo (korzystając z podziałki na pręcie) i ważne dla nas było tylko to, by przy tym samym położeniu wyznaczyć okres wahadła dla zawieszenia na ostrzu A i ostrzu B. Błędy pomiaru okresu T (oś Y) pominęliśmy, gdyż były zbyt małe-rzędu 3*10^-4 s.

Punkt w którym okres wahań dla zawieszenia A i B jest jednakowy (punkt przecięcia krzywych) przyjęliśmy x = 3 [cm].

Dla położenia ciężarka x = 3 [cm] wykonaliśmy pomiar 50 okresów wahań dla zawieszenia A i postępując analogicznie wykonaliśmy pomiar 50 okresów wahań dla zawieszenia B.

Otrzymaliśmy następujące wyniki:

Liczba okresów wahań n₂=50.

Położenie x [cm]	Ostrze A		Ostrze B
		Czas t [s]	Okres T [s]	Czas t [s]	Okres T [s]
3	64,817	1,29634	64,82	1,2964

Widzimy, że różnice w okresie wahań w przypadku obu zawieszeń występują dopiero w czwartym miejscu po przecinku , możemy więc przyjąć, że znaleźliśmy położenie spełniające warunek odwracalności T_o.

Do obliczeń przyjmujemy okres T = 1,296 [s].

Odległość między ostrzami wynosi: l_o = 0,415 [m].

Obliczam przyspieszenie ziemskie według następującego wzoru:

4. Dyskusja błędów.

Dokładność przyrządu mierzącego czas 50 okresów wynosi 0,02 [%].

Błąd obliczenia okresu obliczamy metodą różniczki zupełnej jako:

T = ( 1,296 ± 0,001 ) [s]

Pomiaru odległości między ostrzami dokonaliśmy przy pomocy suwmiarki o dokładności 0,05 [mm].

Δl_o = 0,0005 [m]

l_o = ( 0,45 ± 0,0005 ) [m]

Błąd obliczenia stałej grawitacji obliczamy przy pomocy metody pochodnej logarytmicznej.

5. Wynik ćwiczenia.

Przeprowadzone przez nas pomiary oraz obliczenia pozwoliły wyznaczyć wartość przyśpieszenia ziemskiego:

g = ( 9,75 ± 0,027 ) [
]

VI. Wnioski.

Dokładność wyznaczenia przyśpieszenia ziemskiego nie jest zbyt dobra. Podsumowując, możemy stwierdzić, że ćwiczenie to daje możliwość zapoznania się z wahadłem rewersyjnym i w miarę dokładnego (do drugiego miejsca po przecinku) wyznaczenia wartości przyśpieszenia ziemskiego. Na wynik wpływ miały niedokładność pomiarów.

Widzimy , że przy zmianie położenia ciężarka zmienia się również środek ciężkości a to wskazuje , że zbliżając się do środka ciężkości okres drgań rośnie h→0 to T→ ∞, gdzie: h - odległość środka ciężkości od punktu zawieszenia wahadła.

Sprawozdanie z fizyki

- 9 -

---