Pytania na egzamin testowy z matematyki dla I-go roku KNEiS (semestr II).

1. Funkcje wielu zmiennych (granica funkcji), pochodne kierunkowe i pochodne cząstkowe funkcji, gradient funkcji i różniczkowalność funkcji.

Funkcje wielu zmiennych

Funkcją n - zmiennych x = (x₁,x₂,...,x_n) nazywamy funkcję f: Rⁿ → R (piszemy f(x) = f(x₁,x₂,...,x_n)), np.:

1. 
   - funkcja wielkości popytu

p - cena towaru

y - dochód „per capito” (na osobę); α, β, γ, p_c, y_c, r_c, D_c - stałe

r - wydatki na reklamę

2. Funkcja wielkości produkcji

p = f (K,L) ; K - kapitał zainwestowany, L - wielkość zatrudnienia (w roboczogodzinach)

; P_c - wielkość produkcji osiągana dla kapitału K = K_c i zatrudnienia L = L_c

Granica funkcji

Niech f :

Liczba g∈R jest granicą funkcji „f” w punkcie x₀ (piszemy
)

1. Heinego

2. Cauchy'ego

Pochodną kierunkową funkcji f: Rⁿ → R w punkcie x₀∈Rⁿ w kierunku wektora a = [a₁,a₂,...,a_n]∈Rⁿ nazywamy granicę:

Pochodną cząstkową

nazywamy pochodna kierunkową funkcji f w kierunku wektora e_i = [0,0,...,0,1,0,...,0], tzn.

Gradientem (pochodną) funkcji f w punkcie x₀ nazywamy wektor:

Różniczkowalność funkcji

gdzie

oraz

2. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów, różniczki wyższych rzędów, tw. Schwarza, wzór Taylora.

Pochodne cząstkowe rzędu drugiego

Niech f posiada pochodna cząstkową ∂f / ∂x_i w otoczeniu K(x₀, r) punktu x₀. Jeśli funkcja ∂f / ∂x_i posiada ponadto pochodną cząstkową po xj, to nazywamy ją pochodna cząstkową rzędu drugiego i oznaczamy:

Uwaga: Jeśli i = j, to piszemy

Różniczka rzędu drugiego

Różniczką zupełną rzędu drugiego nazywamy różniczkę różniczki rzędu pierwszego, tzn.:

Tw. Schwarza

Zał.: Funkcja f posiada ciągłe pochodne mieszane:
w otoczeniu punktu x₀

Teza:

3. Def. ekstremum funkcji, warunki konieczne i dostateczne na ekstremum.

Ekstremum funkcji

Niech f: D ⊂ Rⁿ → R, x₀∈D nazywamy:

1) maksimum ⇔

2) minimum ⇔

Warunek konieczny na ekstremum

Zał. 1) f: D ⊂ Rⁿ → R, x₀∈D

2) f jest różniczkowalna w x₀

3) x₀ - ekstremum lokalne (minimum lub maksimum)

Teza f '(x₀) = grad f(x₀) =
, tzn.
, czyli
dla i = 1,2,...,n

Warunki dostateczne na ekstremum

Zał. 1) f: D ⊂ Rⁿ → R, f posiada w otoczeniu punktu x₀ (K(x₀,E)⊂D) ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu drugiego (włącznie):

2) f '(x₀) = grad f(x₀) =

Teza 1) Jeśli d²f(x₀) (czyli f ''(x₀)) jest dodatnio określona to x₀ jest minimum lokalnym

2) Jeśli d²f(x₀) (czyli f ''(x₀)) jest ujemnie określona to x₀ jest maksimum lokalnym

3) Jeśli d²f(x₀) nie jest określona to x₀ nie jest ekstremum

4) Jeśli d²f(x₀) jest półokreślona to x₀ może być lub nie ekstremum lokalnym

4. Ekstremum warunkowe, funkcja Lagrange'a, warunki konieczne i dostateczne.

Ekstremum warunkowe

Mówimy, że funkcja „f” ma w punkcie x0∈M maksimum (minimum) lokalne związane (warunkiem M lub na powierzchni M) jeśli:

Uwaga: Zamiast o maksimum (minimum) lokalnym związanym, mówimy tez o maksimum (minimum) lokalnym warunkowym przy warunku

Funkcja Lagrange'a

Funkcję L: D ⊂ Rⁿ → R określoną następująco:
, gdzie λ = [λ₁, λ₂,..., λ_m], λi∈R (i = 1,...,m) nazywamy funkcją Lagrange'a dla problemu ekstremum warunkowego zadanego funkcją „f” oraz funkcjami g₁, g₂,..., g_m. Stałe λi (i = 1,...,m) nazywają się mnożnikami Lagrange'a lub czynnikami nieoznaczonymi Lagrange'a.

Warunek konieczny na ekstremum warunkowe

Zał. Jeśli f,g₁,...,g_n mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego w otoczeniu x₀, x₀ jest punktem regularnym zbioru M oraz f posiada w x₀ ekstremum warunkowe g_c przy warunku M

Teza: Istnieją stałe
takie, że:

Warunki dostateczne istnienia ekstremum warunkowego

Zał. (1) Funkcje f,g₁,g₂,...,g_m posiadają pochodne cząstkowe do rzędu II-go włącznie na zbiorze D⊂Rⁿ (D - otoczenie)

(2) x₀ jest punktem regularnym zbioru M

(3) x₀ spełnia równania Lagrange'a:
(jest to warunek konieczny)

Teza: (1) Jeśli forma kwadratowa
zadana macierzą
jest dodatnio (ujemnie) określona na zbiorze
, tzn.:

to x₀ jest minimum (maksimum) warunkowym

(2) Jeśli forma kwadratowa
nie jest określona, to x₀ nie jest ekstremum warunkowym

5. Metoda najmniejszych kwadratów.

Metoda najmniejszych kwadratów

Przypuśćmy, że mamy n - punktów na płaszczyźnie P₁(x₁,y₁), P₂(x₂,y₂),..., P_n(x_n,y_n). Poszukujemy funkcji f = f(x) należącej do pewnej klasy F, np. F = {f; f(x) = ax + b} takiej, że wyrażenie
jest najmniejsze. Wielkość
wyraża odległość punktu P_i(x_i,y_i) od punktu wykresu (x_i,f(x_i)) funkcji f.

d₂ • P_n

• P₁ • •

• d₁ • P₂ • P₃ d_n X

• d₃

• d₄

• P₄

X

Zatem wybieramy funkcję z danej klasy tak, aby wielkość
była najmniejsza.

Efektywne wzory podamy dla klasy funkcji liniowych: F = {f: R → R; f(x) = ax + b}

Niech
. S osiąga minimum dla wartości
takich, że:

• P₃ • d_n

• d₃ • P_n

• P₁ • d₂

• d₁ • P₂

Stosujemy wzory Cramera:

Ostatecznie:

b₂ b

b₂ b

b₂ⁱ bⁱ

<a;b〉 P_i

a₂

a a₂ⁱ aⁱ

a₁ b₁ a₂ a

a₁ a₁ⁱ b₁ⁱ b₁

6. Całka Riemana funkcji wielu zmiennych (ciąg podziałów normalnych przedziału w R², sumy Riemana, sumy dolne i górne, całka dolna i górna Darboux, całkowalność funkcji w sensie Riemana), całka z funkcji po dowolnym zbiorze ograniczonym.

Całka Riemana funkcji wielu zmiennych na przedziale <a;b〉 (prostokącie)

Niech <a;b〉 = <a₁;b₁〉 × <a₂;b₂〉, gdzie a = (a₁,a₂), b = (b₁,b₂)

Podziałem przedziału <a;b〉 nazywamy zbiór prostokątów: Π = {P_i}_{i = 1,2,...,n} , n = n₁ · n₂; <a;b〉 =

Polem (miarą) przedziału P_i nazywamy liczbę

Ciąg przedziałów Π⁽ⁿ⁾ = {P_i⁽ⁿ⁾}_{i = 1,2,...,n} nazywamy ciągiem przedziałów normalnych przedziału <a;b〉 jeśli

Sumy Riemana

Niech f: <a;b〉 → R, f - ograniczona na <a;b〉.

Sumą całkowitą Riemana funkcji f dla przedziału Π = {P_i} nazywamy sumę:

, gdzie

Suma dolna Suma górna

, gdzie

, gdzie

Całkowalność funkcji w sensie Riemana

Funkcję „f” nazywamy całkowalną w sensie Riemana na przedziale <a;b〉, jeśli dla każdego ciągu przedziałów normalnych Πⁿ = {P_i⁽ⁿ⁾}_{i = 1,2,...,n} , n∈N i przy dowolnym wyborze punktów ξ_i⁽ⁿ⁾∈P_i⁽ⁿ⁾ , ciąg sum Riemana jest zbieżny.

Granicę tą nazywamy całką Riemana na przedziale <a;b〉 i oznaczamy:

Całką dolną Darboux nazywamy kres górny sum dolnych:

Całką górną Darboux nazywamy kres dolny sum górnych:

Całka z funkcji po dowolnym zbiorze ograniczonym

Niech A ⊂ R^m, A ⊂ <a;b〉 ⊂ R^m; f<a;b〉 → R

- funkcja charakterystyczna zbioru A

Uwaga:

7. Własności całki Riemana, wzór Fubiniego, całkowanie po zbiorach normalnych.

Własności całki Riemana

1. Zał. f - ciągła i ograniczona na zbiorze A

Teza Istnieje całka:

2. A = A₁ ∪ A₂ , A₁ ∩ A₂ = ∅ ⇒
   

3. 
   

4. 
   

Tw. Fubiniego

Zał. 1) A = A₁ × A₂ ⊂ R^{k + m}, A₁ ⊂ R^k , A₂ ⊂ R^m

Zbiór A jest ograniczony, f: A = A₁ × A₂ → R, f = f(x,y), x = (x₁,...,x_n) ⊂ A₁, y = (y₁,...,y_m) ⊂ A₂

f - ograniczona na zbiorze A

2) f - całkowalna na zbiorze A, tzn.:
- istnieje

Teza:
istnieje
oraz
istnieje

Funkcje Ρ i Ψ są całkowalne na zbiorach A₁ i A₂ oraz zachodzi równość:

A₁ = <a,b〉 ⊂ R

A₂ = <c,d〉 ⊂ R

d

A₂ A

c

a A₁ b X

Wniosek:

a = (a₁,...,a_n), b = (b₁,...,b_n)

A = <a,b〉 = <a₁,b₁〉 × <a₂,b₂〉 × ... × <a_n,b_n〉

Całkowanie po zbiorach normalnych

Zał. f = f(x,y) - ciągła na zbiorze normalnym względem osi OX lub osi OY

Teza 1) Jeśli A = {(x,y); a ≤ x ≤ b, g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x)} to:

2) Jeśli A = {(x,y); c ≤ y ≤ d, h₁(y) ≤ x ≤ h₂(y)} to:

8. Wzór na zamianę zmiennych, współrzędne biegunowe, współrzędne walcowe i współrzędne sferyczne, stosowanie tych współrzędnych do wzoru na zamianę zmiennych.

Tw. o zamianie zmiennych

Zał. 1) Niech g: A ⊂ R^m → g(A) ⊂ R^m, y = g(x) = [g₁(x),...,g_m(x)], x = (x₁,...,x_m) ∈ A

(tzn. g jest regularne na zbiorze A)

2) f - całkowalna na zbiorze g(A)

det g '(x) - jacobian (wyznacznik macierzy Jacobiego)

Teza

lub: g: g^-1(B) → B ⊂ R^m to

Współrzędne biegunowe na płaszczyźnie

Dla n = 2 przyjmujemy oznaczenia: x = (x₁,x₂)
(x,y) - współrzędne kartezjańskie punktu P(x,y)

Parę liczb (γ,ϕ), gdzie γ∈(0;+∞), ϕ∈<0;2Π〉 nazywamy współrzędnymi biegunowymi, jeśli
oraz:

tzn.:

Y

y P(x,y)

γ

ϕ

x X

Uwaga: x² + y² = r²cos²ϕ + r²sin²ϕ = r²(cos²ϕ + sin²ϕ) = r² ⇒ x² + y² = r²

Współrzędne walcowe

(γ,ϕ,z) - współrzędne walcowe

g(γ,ϕ,z) = (γ cosϕ, γ sinϕ, z) = (x,y,z)

det g '(γ,ϕ,z)

W = {(x,y,z); x² + y² ≤ a², 0 ≤ z ≤ h} - walec o podstawie kołowej i wysokości h

W = {(γ,ϕ,z); 0 ≤ γ ≤ a, 0 ≤ ϕ ≤ 2Π, 0 ≤ z ≤ h}

z

h

a Y

X

Współrzędne sferyczne

(γ,ϕ,ψ)
ϕ∈<0,2Π〉 ψ∈<0,Π〉

z

(x,y,z)

ψ γ ψ

y

γ '

ψ

(x,y,0)

x = γ · cos ϕ · sin ψ

y = γ · sin ϕ · sin ψ

z = γ · cos ϕ

Niech g(γ,ϕ,ψ) = (γ · cos ϕ · sin ψ, γ · sin ϕ · sin ψ, γ · cos ϕ) = (x,y,z)

det g '(γ,ϕ,ψ) =
=

= γ² sin ψ (- cos²ϕ sin²ψ - sin²ϕ cos²ψ - cos²ϕ cos²ψ - sin²ϕ sin²ψ) =

= - γ² sin ψ (cos²ϕ (sin²ψ + cos²ψ) + sin²ψ (cos²ψ + sin²ψ) = - γ² sin ψ

9. Całki niewłaściwe, wzór na zamianę zmiennych, wprowadzenie całki Gaussa.

Całki niewłaściwe

Zakładamy, że
f - całkowalna na zbiorze A_n. Mówimy, że całka z funkcji f = f(x) na zbiorze A istnieje (jest zbieżna), jeśli istnieje, przy dowolnym wyborze ciągu A_n, skończona granica:

Tw. o zamianie zmiennych

, gdzie A = {(x,y); x ≥ A; y ≥ A}

dla p > q > 1

Całka Gaussa

10. Def. przestrzeni probablistycznej (Ω,S,P) (S - przestrzeń zdarzeń losowych, P - funkcja prawdopodobieństwa), własności funkcji prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo warunkowe, niezależność zdarzeń losowych, wzór Bayes'a, schemat Bernoulliego.

Przestrzeń probablistyczna

Przestrzenią probablistyczną nazywamy trójkę: (Ω,S,P) - stanowi opis matematyczny zdarzenia losowego

Zbiór zdarzeń losowych S

(I) Niech Ω będzie zbiorem (co) najwięcej przeliczalnym (tzn. jego elementy można ustawić w ciąg).

Zbiorem zdarzeń losowych S nazywamy rodzinę wszystkich podzbiorów zbioru Ω, tzn. S = 2^Ω

Uwaga:

Jeśli
to
, bo

Ω = {0,1} 2^Ω =

- dwumian Newtona

(II) Niech Ω = Rⁿ lub Ω ⊂ Rⁿ i Ω − nieprzeliczalny. Rodzinę S* nazywamy
- algebrą (
- ciałem) podzbiorów zbioru Ω, jeśli:

1. Ω ∈ S*

2. A ∈ S* ⇒ A' = Ω − A ∈ S*

3. A₁,A₂,...A_n ∈ S* ⇒
   

Funkcja prawdopodobieństwa P

Niech ∅ ≠ Ω, S - rodzina zdarzeń losowych

Rozkładem prawdopodobieństwa P na S nazywamy funkcję P: S → <0,1〉 taką, że:

1. P(Ω) = 1

2. 
   dla
   

Własności prawdopodobieństwa

1. P(∅) = 0

2. A₁,...,A_n ∈ S;
   dla
   

A = A1, B = A₂
- uogólnienie

3. P(A') = 1 - P(A)

4. A ⊂ B ⇒ P(B − A) = P(B) - P(A)

5. A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B)

6. P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

7. A₁ ⊂ A₂ ⊂ A₃ ⊂ ... ⊂ A_i ∈ S (i∈N) ⇒
   

8. B₁ ⊃ B₂ ⊃ B₃ ⊃ ... ⊃ B_i ∈ S (i∈N) ⇒
   

Prawdopodobieństwo warunkowe

Niech (Ω,S,P) - przestrzeń probablistyczna, B∈S, P(B)>0

Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B nazywamy:

Funkcję P_B taką, że P_B(A) = P(A/B) nazywamy warunkowym rozkładem:

, stąd:

- iloczyn prawdopodobieństw warunkowych

Niezależność zdarzeń losowych

A i B są niezależne ⇔ P(A∩B) = P(A) · P(B), P(B)>0

Zajście zdarzenia B nie wpłynęło na zajście zdarzenia A. Stąd A i B są niezależne.

A₁,A₂,...,A_n są niezależne ⇔

Wzór Bayes'a

Zał. 1)
dla i ≠ j

2)
, P(A_i) > 0, P(B) > 0

Teza

Dowód:

Schemat Bernoulliego

Rozważmy n - niezależnych eksperymentów (doświadczeń) losowych. Każdy z nich kończy się jednym z dwóch możliwych wyników: w₁ - sukces, w₂ - porażka. Zatem zbiór zdarzeń elementarnych w pojedynczym doświadczeniu: Ω = {w₁;w₂}. Niech p = P(w₁), q = P(w₂), p + q = 1.

W n - krotnym doświadczeniu zbiór zdarzeń elementarnych Ωⁿ = Ω × ... × Ω = {(r₁,...,r_n); r_i∈Ω; i = 1,...,n}

Niech
- zdarzenie losowe polegające na tym, że w n - krotnym doświadczeniu mamy k - sukcesów

11. Def. zmiennej losowej i jej rozkładów (skokowego i ciągłego), przykłady rozkładów skokowych (dwupunktowy, Bernoulliego, Poissona, geometryczny) i ciągłych (jednostajny, normalny, Gamma, wykładniczy, Laplace'a).

Zmienna losowa

Niech (Ω,S,P) będzie przestrzenią probablistyczną

1. Jeśli Ω jest zbiorem co najmniej przeliczalnym, to zmienną losową jednowymiarową nazywamy każdą funkcję X: Ω → R

2. Jeśli Ω jest zbiorem nieprzeliczalnym, to zmienną losową nazywamy każdą funkcję X: Ω → R spełniającą warunek

Przeciwobraz dowolnego zbioru borelowskiego A∈B(R) jest zdarzeniem losowym (należy do S)

Rozkład zmiennej losowej

Niech (Ω,S,P) będzie przestrzenią probablistyczną, a X zmienną losową określoną na Ω.

Rozkładem zmiennej losowej X nazywamy funkcję P_X określoną na rodzinie zbiorów borelowskich następującym wzorem:

Trójka (R,B(R),P_X) stanowi przestrzeń probablistyczną generowaną przez zmienną losową X

X - realizuje numerację zbioru zdarzeń elementarnych Ω

(Ω,S,P)
(R,B(R),P_X)

Rozkład skokowy zmiennej losowej

Jeśli istnieje skończony lub przeliczalny zbiór S_X = {x₁,x₂,...} zwany zbiorem punktów skokowych taki, że
, gdzie p_i = P(X = x_i) ≠ 0, to mówimy, że zmienna losowa X jest typu dyskretnego lub skokowego S_X = X(Ω)

Uwaga: X jest typu skokowego

Rozkład ciągły zmiennej losowej

Jeżeli istnieje nieujemna funkcja f(x) ≥ 0 zwana funkcją gęstości taka, że dla każdego x∈R dystrybuanta zmiennej losowej X jest postaci: F_X(X) =
, to mówimy, że zmienna losowa X^−∞ jest typu ciągłego.

P(X<x) = F_X(X) =

Przykłady rozkładów zmiennej losowej

A. Rozkłady skokowe (dyskretne)

(1) Dwupunktowy (zero - jedynkowy)

X	0	1
PX	p	q

0 < p < 1, p + q = 1

2. Bernoulliego

X	0	1	2	...	k	...	n
PX	P0	P1	P2	...	Pk	...	Pn

P_X = P(X = k) =


0 < p < 1, p + q = 1, k = 0,1,2,...,n




3. Poissona

SX = {0,1,...}

X	0	1	2	...	k
PX	P0	P1	P2	...	Pk

p_k = P(X = k) =
; λ > 0, k = 0,1,2,...




4. Geometryczny

X	1	2	...	k
PX	P1	P2	...	Pk

p_k = P(X = k) = pq^k-1, k = 1,2,3,...




B. Rozkłady ciągłe

1. Jednostajny (równomierny)





Y


f(x)

















a b X




2. Normalny (Gaussa)





Y







f(x) KRZYWA GAUSSA




m X




3. Gamma




gdzie



4. Wykładniczy: Gamma dla p = 1





Y


a

f(x)





X

5. Laplace'a







Y








X

12. Dystrybuanta zmiennej losowej, własności dystrybuanty, funkcje zmiennej losowej Y = g(X), postać funkcji zmiennej losowej f_y(y).

Dystrybuanta zmiennej losowej

Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F_X: R → [0,1] taką, że:




Własności dystrybuanty zmiennej losowej

Dystrybuanta F_X zmiennej losowej X spełnia warunki:

1. jest niemalejąca

2. lewostronnie ciągła (tzn.
   )

3. 
   

Zachodzą następujące wzory:

1. P_X( [a,b] ) = F_X(b) - F_X(a) (Przyrost wartości dystrybuanty na przedziale [a,b] )

2. P_X({a}) = F_X(a + 0) - F_X(a), gdzie F_X(a + 0) =
   F_X(a)

Funkcje zmiennej losowej

Funkcję zmiennej losowej X nazywamy zmienną losową Y = g(x) taką, że


, np.:

X	x1	x2	⇒	Y	ax1+ b	ax2+ b
PX	P1	P2		PY	P1	P2

g: R → R

X: Ω → R Y = g(X): Ω → R Y(w) = g(X(w))

Niech Y = ax + b, f_x(x) - gęstość zmiennej losowej X




13. Parametry rozkładów zmiennej losowej (wartość oczekiwana i wariancja, mediana, moda), zmienna losowa standaryzowana.

Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Wartością oczekiwaną zmiennej losowej X nazywamy liczbę E(X) określoną następująco:

1. jeśli X jest typu skokowego: S_X = {x₁,x₂,...} oraz P(X = x_i) = p_i > 0, i = 1,2,... , przy czym szereg
   jest zbieżny, to:
   

2. jeśli X jest zmienną losową typu ciągłego o gęstości f oraz zbieżna jest całka
   , to:
   

Wariancja zmiennej losowej

1. Momentem (zwykłym) rzędu k zmiennej losowej X nazywamy liczbę: m_k = E(X^k)

2. Momentem centralnym rzędu k nazywamy liczbę μ_k = E[(X - m)^k], gdzie m = m₁ = E(X)

3. Wariancją nazywamy
   

Mediana zmiennej losowej

Medianą (wartością środkową) zmiennej losowej X nazywamy taką jej wartość x_0,5:




X	−1	0	1
PX	¼	¼	½

P(X ≥ 0) = P(X = 0) + P(X = 1) = ¼ + ½ = ¾ ≥ ½

P(X ≤ 0) = P(X = −1) + P(X = 0) = ¼ + ¼ = ½ ≥ ½




Uwaga:

1. F(x_0,5) = 1 - P(X ≥ x_0,5) ≤ ½

2. X - zmienna losowa ciągła, to F(x_0,5) =
   





← F - ciągła ⇒ F(x_0,5) = ½






Y


















x = m = x_0,5 X




Moda zmiennej losowej

Modą m₀ nazywamy wartość zmiennej losowej X taką, że P(X = m₀) =
lub m₀ - max f(x)

1. P(X = m0) =
   

X	−1	0	1	2	m0 = 0
PX	1/6	1/3	1/3	1/6	m0 = 1

W rozkładzie normalnym moda i mediana pokrywają się

2. m₀ - maksimum funkcji gęstości








m'₀ m''₀

Zmienna losowa standaryzowana

Zmienną losową Y nazywamy standaryzowaną, jeśli E(Y) = 0, D²(Y) = 1

14. Zmienna losowa dwuwymiarowa (lub wielowymiarowa), dystrybuanta, rozkłady brzegowe, niezależność zmiennych losowych.

Zmienna losowa wielowymiarowa

(Ω,S,P) - przestrzeń probablistyczna

Uporządkowany układ (ciąg) n - zmiennych losowych X1,...,X_n nazywamy losową n - wymiarową i oznaczamy przez X = (X₁,X₂,...,X_n)

Uwaga:

1. X = (X₁,...,X_n): Ω → Rⁿ oraz
   

2. Jeśli A = A₁ × ... × A_n i X = (X₁,X₂,...,X_n), to:




Dystrybuanta zmiennej losowej wielowymiarowej

Dystrybuantą zmiennej losowej X = (X₁,...,X_n) nazywamy funkcję F(X): Rⁿ → <0,1〉 taką, że dla X = (X₁,...,X_n)∈Rⁿ




Rozkłady brzegowe

Niech X = (X₁,...,X_n) - zmienna losowa n - wymiarowa

F_X(X); x = (x₁,...,x_n) - dystrybuanta zmiennej losowej X

Dystrybuantą rozkładu brzegowego F_Xi(x_i) zmiennej losowej x_i nazywamy funkcję F_Xi: R → <0,1〉 taką, że:




Przykład:

Dla n = 2 F_(x,y) - dystrybuanta




1. (X,Y) - ma rozkład ciągły o gęstości f(x,y)




Funkcje:
nazywamy gęstościami brzegowymi rozkładów brzegowych zmiennej losowej X i Y

2. Jeśli (X,Y) jest typu skokowego o rozkładzie p_ij = (P(X = x_i, Y = y_j) to rozkłady brzegowe zmiennych losowych X i Y są określone:




Niezależność zmiennych losowych

Zmienne losowe X₁,X₂,...,X_n nazywamy niezależnymi, jeśli dla dowolnych zbiorów A₁,...,A_n∈B(R) zachodzi:




Zmienne losowe są niezależne ⇔ gdy zdarzenia losowe
(dla i = 1,...,n) są niezależne

Uwaga:

1. 
   - dystrybuanta rozkładu łącznego X jest równa iloczynowi dystrybuant rozkładów brzegowych

2. X = (X₁,...,X_n) - rozkład ciągły


- f. gęstości równa jest iloczynowi funkcji gęstości rozkładów brzegowych

3. X = (X₁,...,X_n) - rozkład skokowy




Dla n = 2

1. F_(x,y)(x,y) = F_x(x) · F_y(y)

2. f(_x,y)(x,y) = f_x(x) · f_y(y)

3. P(X = x_i, Y = y_j) = P(X = x_i) · P(Y = y_j)

15. Wartości oczekiwane funkcji Y = g(X) zmiennej wielowymiarowej X, momenty zwykłe i momenty centralne, macierz kowariancji i współczynnik korelacji.

Wartość oczekiwana

Wartością oczekiwaną funkcji g(X₁,X₂,...,X_n) nazywamy liczbę:


, gdy X = (X₁,...,X_n) ma rozkład skokowy oraz powyższy szereg jest zbieżny bezwzględnie,

lub


, gdy X ma rozkład ciągły o gęstości f(x₁,...,x_n) oraz powyższa całka jest zbieżna bezwzględnie, tzn.


Dla n = 2




Moment zwykły

Momentem (zwyczajnym) rzędu L₁ + L₂ + ... +L_n nazywamy wartość oczekiwaną funkcji:


i oznaczamy:
, tzn.:




przy założeniu, że szereg i całka są zbieżne bezwzględnie

Uwaga:

Jeśli L_i = 1 oraz L_j = 0 dla j ≠ i, j∈{1,...,n}, to m_xi = E(X_i) - wartość oczekiwana zmiennej losowej X_i.




Uwaga (dla n = 2):




Moment centralny

Momentem centralnym rzędu L₁ + L₂ + ... +L_n nazywamy wartość oczekiwaną funkcji:


, gdzie
dla i = 1,2,...,n, oraz oznaczamy przez
. Zatem:





Uwaga (dla n = 2):




Macierz kowariancji

Kowariancją zmiennych losowych X_i oraz X_j nazywamy moment centralny rzędu 2, tzn.




Macierzą kowariancji nazywamy macierz K, gdzie


Uwaga:


- wariancja X_i. Macierz kowariancji jest symetryczną: K = K^T




Współczynnik korelacji

Współczynnikiem korelacji zmiennych losowych X_i, X_j nazywamy liczbę:


, gdzie
- odchylenie standardowe

1




---