Bilans mocy w obwodzie eklektycznym

Moc chwilowa:

Całkowita moc chwilowa w obwodzie:

Całkowita moc:

Twierdzenie Tellegena

Całkowita moc wydzielona w każdym momencie w obwodzie jest równa zero.

Energia wydzielona w i-tym elemencie

Moc to prędkość zmian energii.

Analiza obwodu elektrycznego

1. Ułożyć równania na podstawie pierwszego i drugiego prawa Kirchofa.

2. Wyznaczenie wszystkich wielkości gałęziowych.

Twierdzenie rozwiązalności - warunkiem koniecznym rozwiązalności obwodu SLS,e,i_Z jest istnienie w grafie obwodu drzewaw zbiorze gałęzi w którym występują między innymi wszystkie źródła napięciowe (autonomiczne i sterowane), a w zbiorze dopełnień w którym występują między innymi wszystkie źródła prądowe (autonomiczne i sterowane) - takie drzewo to drzewo rozwiązalności - T_S (w obwodzie RLC,e,i_Z istnienie drzewa T_S jest warunkiem koniecznym i dostatecznym rozwiązywalności).

Postulaty teorii obwodów:

Jedna z sił EM nie może tworzyć drzewa; Drzewo przechodzi przez jedno źródło prądowe.

Jest to obwód częściowo rozwiązalny. Dwie metody rozwiązywania:

I. Metoda prądów oczkowych

1. Wybór drzewa T_S

2. Wybieramy oczka fundamentalne

3. Orientujemy obwód - wybieramy kierunki prądów gałęziowych i oczkowych

4. Wypisanie równań z drugiego prawa Kirchoffa dla oczek niezależnych, które prądy oczek są rzeczywiście nieznanymi wielkościami.

; prąd zadany

II. Metoda napięć węzłowych

Strzałki tworzą drzewo Lagrange'a

Najpierw trzeba rozwiązać III, IV, V by otrzymać V₅(t), V₆(t), V₇(t) i następn ie podstawiamy pod równania I i II.

Która metoda jest lepsza?

Napięć węzłowych lepsza. Mamy tu do czynienia z praktycznym zastosowaniem równań różniczkowych.

Zastosowanie liczb zespolonych dla przebiegu sinusoidalnego, możliwe jest tylko przy tym gdy obwód jest w stanie ustalonym.

Reakcja - dowolna wielkość elektryczna występująca pod wpływem pobudzeń SEM.

Suma napięcia jednorodnego i niejednorodnego.

Najpierw u_j

(bez pobudzeń)

Teraz napięcie nie jednorodne

Sumujemy:

τ-stała czasu

Składowa przejściowa - zanika z czasem

Składowa ustalona

(stała w czasie)

Pierwsza cześć to składowa wymuszona (przez pobudzenie), druga składowa swobodna (zależna od warunków początkowych.

W obwodach rzeczywistych

R~10³

C~10^-6

po 1 sek 1/e¹⁰

Stan ustalony to stan pernamentny.

; składowa przejściowa zanika stosunkowo szybko do zera

- stała czasu - to taki czas w którym wartość maleje e razy

Analiza obwodu SLS,E,I_Z w stanie ustalonym

W stanie ustalonym cewka zastępujemy zwarciem, bo napięcie jest równe zero.

Kondensator rozwarciem bo prąd jest równy zero.

W stanie ustalonym obwód zamienia się na rezystancyjny.

(1)

Równanie jednorodne to równanie bez wymuszeń

, t>0

Stała K musi być obliczona z całego rozwiązania

W drugim równaniu nie odgadniemy całki, trzeba uzmiennić stałą.

(2)
;

Podstawiając do (rów.1)

Całkując nie oznaczenie

Gotowe rozwiązanie to:

gdzie

Podstawiając do całkowitego rozwiązania (rów.2)

, t>0

Z warunków zadania wynikało że:

Stąd wyciągamy K₁ i ostatecznie:

Pierwszy składnik to składowa ustalona, drugi przejściowa.

;
;

Wnioski z tego:

W stanie ustalonym przy pobudzeniu sinusoidalnym

1. r(t)=sin() reakcja jest przebiegiem sinusoidalnym

2. U_m=const=φ amplituda oraz faza początkowa stała i niezależna od t

3. ω=ω_p pulsacja przebiegu identyczna pulsacji pobudzenia

4. składowa ustalona nie zależy od warunków początkowych

Można założyć ze rozwiązanie będzie postaci:

Liczby zespolone dla sinusa

Wartość zespoloną podkreślamy.

Zespolona wartość skuteczna:

Podobnie

;
; przy czym φ=0

Teraz do równania wyjściowego podstawiamy:

;

Po wyznaczeniu tej części urojonych

To musi być spełnione dla wszystkich t.

Wyjmiemy a_u

Możemy zapisać:

φ_e=0

;

Szybko otrzymaliśmy to samo. Stosuje się uogólnienie polegające na przypisaniu liczb.

Mamy zadane

Taka operacja nazywa się symbolicznym przedstawieniem przebiegu sinusoidalnego.

Przebieg sinusoidalny jest rzutem na oś urojoną z pulsacją ω.

Szukanie przebiegu

Metodą symboliczną można wykonywać operacje liniowe: dodawania, odejmowania, różniczkowania i całkowania.

; muszą mieć tę samą ω

Opuszczając znak części urojonych

Przebieg czasowy można otrzymać wykonując operację odwrotną.

Rozwiązywanie równań w dziedzinie zespolonej

Całkowanie odpowiadana algebraicznemu dzieleniu prze jω

e₂(t)

M

e₁(t)

E> U₀

E< U₀

E

U₀

E

U_R(t)

U(t)

E

R

i(t)

U₀

E

R

t=0

U₀

V₆

V₇

V₄

V₃

V₂

V₁

i₁

i₂

i₄

i₅

e₂(t)

e₁(t)

C₁

L₁

R₃

R₂

R₁

R₄

L₂

C₂

I_m4

I_m3

I_m2

I_m1

i₁

i₂

i₆

i₄

i₅

Im(z)

u(t)

U₀

i(t)

t=0

R

e(t)

C

i(t)

U(t)

L

i(t)

U(t)

M=0

L₁

L₂

C₁

L₁

R₃

R₂

R₁

R₄

L₂

C₂

i(t)

u(t)

Re(z)

Re|F|

Im|F|

|F|

ω

Im(z)

Re(z)

Re|F|

Im|F|

F

F₂

F₁

---