04 (6)

Biblioteczka Opracowań Matematycznych

V

=2 \e-dx - j ^2e dx = 2 \e'dx - 2J.x*^:<ix =

2x'    2

= 2e* - —--k C = 2e‘ + —+ C

-1    ,x

8/

4 cos 2*

4 rcos² x — sin ³ *    4 rcos³ x -1 + cos³ x

3cos* *sin * x

'.x    , h rcos x — sin x ,    4 r

——dx = — ----—dx = — I

m‘v 2 ^J cos**sin X 3 ³

cos³ *sin³ *

4 f 2 cos³ x -1

-Ti

3 ^J cos *sin * x

<fr=lf ²f^0S *,    , =^%-\A-

3^Jcos *sin *    3 ^J cos jc sin *    3 ^Jsin *

4 rcos³* + sin³* , s    4 r cos**    ,    4 r sin*.

-5-——= —ctgx---z- , dx-----

3 ^J COS * Sin *    3    3 ^J cns¹ y sin ¹ y 3 J rns ¹ ys!

sin *

COS *sin**

3 ^J cos *sin * *    3 ^J cos* *sin * *

-dx

8    4 r dx 4 f

= ~T^C,SX

A    8    4    4    _

c^7⁼ T^,gx + T⁰** ~T^,gx +c =

4    4

=—ctgx--lgx+C

rl -sin³ x sin³ *

9[ jctg²xdx = [^C0S, ^Xdx= f- ^S'ⁿ Xdx= f—^--fdx = -ctgx-x + C

^J    J Sin X ^J im r ^J«:in²r J

sin * *

10/ r !0A    _=|0g

vrnc* v    J ci

sm³* + cos³*

sin *cos* *

2 ,

sin³* cos³* dx

<fr = 10f-

J si

dx

sin *

sin³* cos³*

dx +

+ 10f^^SX dx + C = 10 (—^— + 10 f — = 10/g*-10c/g* + C

^J Sin** COS *    •^ICIK Y 4 sin* y

’ cos³ *

sin³*

W powyższych całkach wykorzystano własności całki, wzoiy (1.1 )-< 1.10) oraz wzory:

Wzór skróconego mnożenia: (a + Z?)² = a² +2ab + b² Definicje potęgi o wykładniku całkowitym i wymiernym:

(1.17) *" = ^* , (Mg) _x~” =ⁿJ*”

Wzory try gonometryczne:

ctgx = —

cos x

sin x

Uwaga:

Najczęściej pojawiającym się błędem przy stosowaniu wzoru (1.1) jest pomniejszanie wykładnika potęgi o wykładniku ujemnym oraz stosowanie wzoru (1.1) dla n = -1.

2.Całkowanie przez podstawianie

Całkowanie przez podstawianie polega na wprowadzeniu nowej zmiennej. Po wprowadzeniu nowej zmiennej wykonuje się także przekształcenie różniczki dx. W praktyce oznacza to, że oznaczając: G(x) = T(u) otrzymujemy G ’(x)dx = T '(u)du, skąd po dal--szych przekształceniach otrzymujemy dx. Sposób ten jasno pokażą przykłady.

W bardziej skomplikowanych przypadkach całkowania metodę tę stosujemy pośrednio przy okazji stosowania innej metody.

PRZYKŁADY CAŁKOWANIA

12/

12/

= -I5sinr + C = -15sin —+C 5

-7-