078 079

78 Anna Kamińska. Artur Gas

Zadanie 2

Zbadać stabilność układu opisanego równaniem różniczkowym

dt³

Ź12L ₊ 4    ₌ 0,5 — -t- 0.75a\

dt² dt dt

Równanie charakterystyczne układu ma postać:

2s³ + 8 i-² +4s = 0 s{2s² + 8s + 4)-0

Układ jest stabilny nieasymptotycznie, gdyż a₃ - 2 > 0, a₂ = 8 > 0,    - 4 > 0.

Współczynnik a₀ - 0( występuje jednokrotny pierwiastek zerowy).

Zadanie 3

Wyznaczyć wartości współczynników' wzmocnienia układu, dla których układ jest stabilny, posługując się kryterium Hurwitza.

Dane:

7j =l.s

T₂ = 0,4^

r, =0,1$

Transmitancja układu zamkniętego wynosi:

^G(s) “ (7Js + lX7;5 + lXr3J + l)+T

(r₁J + lX7’₂4* + lX73+l) + * = 0

7jr₂7’₃j³ + (T_]T₂+T_lT₃ + T₂T_i)s² +(7] + T₂ + T₃)s + 1 + A = 0 0,04s³ + 0,5 4^² + 1,55 + 1 + k = 0

Sprawdzamy warunki Hurwitza:

1. a₃ = 0,04, a₂ ~ 0,54, a_x = 1,5, a_Q~ \ + k a₃ > 0, a₂ > 0, a, > 0,1 + k > 0 => k >-1

2. Zapisujemy wyznacznik A_n oraz wyznaczamy jego podwyznaczniki:

0,54 0,04 1 + k 1,5

	^a2		0
a3 =	#0	ax	a2
	0	0
1 =fl2	= 0,54,		Aj ;
0,54-	1,5	- 0,04(1

Łącząc wyniki ze sprawdzenia obu warunków Hurwitza otrzymamy wartości współczynnika wzmocnienia k , przy którym układ jest stabilny:

-1< k <19,25

Widać z tego, że układ jest także stabilny dla pewnego dodatniego sprzężenia zwrotnego.

Zadanie 4

Zbadać stabilność układu przedstawionego na schemacie [1]

	1	y .
J	s J>S^S+S * 1

Równanie charakterystyczne układu otwartego

s* +3s² +s +1 - 0

Sprawdzamy warunki Hurwitza:

1. 1,3, 1, 1 >0 3 1

= 3 — 1 > 0 układ otwarty jest stabilny