078 079

78 Anna Kamińska. Artur Gas

Zadanie 2

Zbadać stabilność układu opisanego równaniem różniczkowym

dr

₂^ _{+ 8}f[k ₊ 4^-0^ ₊ 0.7S».

dt¹ dt dt

Równanie charakterystyczne układu ma postać:

2s³ + Ss² + 4s = 0

s{ls² + 8s + 4) = 0

Układ jest stabilny nieasymptotycznie, gdyż a₃ - 2 > 0, a-, = 8 > 0, a_{ - 4 > 0. Współczynnik a₀ - 0( występuje jednokrotny pierwiastek zerowy).

Zadanie 3

Wyznaczyć wartości współczynników' wzmocnienia układu, dla których układ jest stabilny, posługując się kryterium Hurwitza.

Dane:

T_{=\s T₂ =0,4 s 7*3=0,15

Transmitancja układu zamkniętego wynosi:

^Gw “ (7]j+iX7;s+iX^+i)⁺* (T_ts + \)(T₁s + \)(Ti + l)+k = Q

T,T₂T₂s³ + (T_tT₂+T,T_} + T₂T_i)s² +(7j + T₂ + T₃)s + 1 + * = 0 0,04j³ + 0,54s² + l,5s +1 + k = 0

Sprawdzamy warunki Hurwitza:

1. a₂= 0,04, a₂ = 0,54, a_l = 1,5, a₀ = 1 + k o₃ > 0, a₂ > 0, a_x > 0,1 + k > 0 => k > -1

2. Zapisujemy wyznacznik A_n oraz wyznaczamy jego podwyznaczniki:

0,54 0,04 1 + k 1,5

	*2	a3	0
a3 =	^a0		a2
	0	0	^ao
1 =fl2	V> O II		Ap
0,54-	1,5	- 0,04(1 4

Łącząc wyniki ze sprawdzenia obu warunków Hurwitza otrzymamy wartości współczynnika wzmocnienia k , przy którym układ jest stabilny:

-1< k <19,25

Widać z tego, że układ jest także stabilny dla pewnego dodatniego sprzężenia zwrotnego.

Zadanie 4

Zbadać stabilność układu przedstawionego na schemacie [1]

* _		1	y .
s		s ^s+3s^a+s ^11

Równanie charakterystyczne układu otwartego

s³ + 3s² +s + \-0

2.

A, =

3 1

1 1

= 3 - 1 > 0 układ otwarty jest stabilny

1

Sprawdzamy warunki Hurwitza: 1. 1,3, 1, 1 >0