Algebra liniowa - egzamin

Zadania A

YOl. Rozwiązać następujący układ równań liniowych

6,

J02. Wyznaczyć

a)    wektory i wartości własne,

b)    macierz Jordana

dla endomorfizmu liniowego /: R³ i-> R³ danego wzorem

f(x, y, z) = (5z — y + 4z_}-Ax + 2y — 4z, -7x + y — 6z).

(OZ, W przestrzeni wektorowej R⁴ dane są dwie podprzestrzenie

U = lin{(l, 0, -2,2), (1,0, -1,0), (1,0, -3,4)} h

oraz

W — {(xi,x₂,x₃,xą) € R⁴ : X\ + 2x₂ = x₄, 2xi + 2x₂ + x₃ = 0}. Z

O A -Z Z.

a)    Wyznaczyć wymiary i podać przykłady baz dla podprzestrzeni U i W.

b)    Sprawdzić, czy U © W = R⁴.

/04. Niecłi odwzorowanie liniowe /: R⁴ R³ będzie dane wzorem

f(xi,x_2}x₃₎x₄) = (xi + 2x₂ + x₃,Xi -ł* x₂ + x_4} 2x\ + 3x₂ + x₃ + x₄).

a)    Wyznaczyć bazę i wymiar przestrzeni ker j.

b)    Wyznaczyć ^)a^Ai| 1 wymiar³przestrzeni im /.

c)    Zbadać, czy / jest monomorfizmem, epimorfizmem, izomorfizmem. Odpowiedź uzasadnić.

/Q5. Niech odwzorowanie liniowe /: R³ R³ będzie dane wzorem

M zy ^ /(*» 2/> z) = (x -2y + 2z, -x-3y- 5z, x + 2y + 4z).

U ^ %

a)    Wyznaczyć macierz / wbazie R³ złożonej z wektorów (1,1, —1), (1,2, —1), (0, —1,1).

b)    Zbadać, czy / jest izomorfizmem oraz podać wzór na /^-1 (o ile to możliwe).

c)    Obliczyć rz /, det; /. oraz tr /.

Uwagi    4 i ^ 9

Ą Ł'

1.    Każde zadanie rozwiązujemy na osobnej, podpisanej kartce.    Ą q

2.    Odpowiedzi na pytania z teorii mogą być wszystkie na jednej kartce.

3.    Jeżeli zadanie zawiera elemnty rachunkowe, to warto pomyśleć o sprawdzeniu swoich obliczeń.

4.    W zadaniu 2 wystarczy podać samą postać Jordana, nie trzeba wyznaczać bazy Jordana.