Algebra liniowa - egzamin
YOl. Rozwiązać następujący układ równań liniowych
Xi |
+ |
x2 |
- 2x3 |
+ |
x4 = |
-3, |
2x\ |
- |
x2 |
+ 5z3 |
+ |
X4 = |
6, |
xY |
+ |
2x2 |
- x3 |
+ |
4x4 = |
5. |
6,
J02. Wyznaczyć
a) wektory i wartości własne,
b) macierz Jordana
dla endomorfizmu liniowego /: R3 i-> R3 danego wzorem
f(x, y, z) = (5z — y + 4z}-Ax + 2y — 4z, -7x + y — 6z).
(OZ, W przestrzeni wektorowej R4 dane są dwie podprzestrzenie
U = lin{(l, 0, -2,2), (1,0, -1,0), (1,0, -3,4)} h
oraz
W — {(xi,x2,x3,xą) € R4 : X\ + 2x2 = x4, 2xi + 2x2 + x3 = 0}. Z
O A -Z Z.
a) Wyznaczyć wymiary i podać przykłady baz dla podprzestrzeni U i W.
b) Sprawdzić, czy U © W = R4.
/04. Niecłi odwzorowanie liniowe /: R4 R3 będzie dane wzorem
f(xi,x2}x3)x4) = (xi + 2x2 + x3,Xi -ł* x2 + x4} 2x\ + 3x2 + x3 + x4).
a) Wyznaczyć bazę i wymiar przestrzeni ker j.
b) Wyznaczyć ^)aAi| 1 wymiar3przestrzeni im /.
c) Zbadać, czy / jest monomorfizmem, epimorfizmem, izomorfizmem. Odpowiedź uzasadnić.
/Q5. Niech odwzorowanie liniowe /: R3 R3 będzie dane wzorem
M zy ^ /(*» 2/> z) = (x -2y + 2z, -x-3y- 5z, x + 2y + 4z).
U ^ %
a) Wyznaczyć macierz / wbazie R3 złożonej z wektorów (1,1, —1), (1,2, —1), (0, —1,1).
b) Zbadać, czy / jest izomorfizmem oraz podać wzór na /-1 (o ile to możliwe).
c) Obliczyć rz /, det; /. oraz tr /.
Ą Ł'
1. Każde zadanie rozwiązujemy na osobnej, podpisanej kartce. Ą q
2. Odpowiedzi na pytania z teorii mogą być wszystkie na jednej kartce.
i?8
O O / V
3. Jeżeli zadanie zawiera elemnty rachunkowe, to warto pomyśleć o sprawdzeniu swoich obliczeń.
4. W zadaniu 2 wystarczy podać samą postać Jordana, nie trzeba wyznaczać bazy Jordana.
22 czerwca 2011 r.
D. Kwietniak
str.l z 2