CCF20090601003

(nc}

5. Dokonać interpolacji funkcji /(x) = 3-5sin — w przedziale (0, 6) wielomianem 3-go stopnia:

V ⁴ )

a) w postaci naturalnej, b) w postaci Lagrange’a, c) w postaci Newtona. Rozkład węzłów -równomierny.

Wielomian 3. stopnia => 4 węzły; rozkład równomierny w przedziale (0, 6): x = [0, 2, 4, 6] a) Postać naturalna: W(x) = a₀ + aix + a₂x² + a₃x³. Współczynników szukamy z równania:

1	x0	*0	x0^3	^a0		f(^x o)		"1	0	0	0 “	a0		' 3 '
1	^1		X,^3	(7j		/(X.)	=>	1	2	4	8	a{	=	-2
1	x2	x2	A	Cl 2		/(*2)		1	4	16	64	a2		3
1	x3	X^2	^X3.	_^a3 _		_f (^X3 )_		1	6	36	216	a3		8

2 a, + 4 a₂ + 8 a₃ = -5

3

ao = 3

3 + 2flj + 4(7, + 8    — —2

3 + 4a, +16a₂ + 64a₃ = 3 3 + 6<7| + 36 a₂ + 216a₃ = 8

"2	4	8 "	(7[		'-5"
4	16	64	a2	=	0
6	36	216	_^a3 _		5

4 a_x +1 6zz₂ + 64(7, = 0

6 a, + 36a₂ + 216a, = 5

1-szy wyraz 2-go wiersza macierzy głównej dzielony przez 1-szy wyraz jej 1-go wiersza to 2, 1-szy wyraz 3-go wiersza dzielony przez 1-szy wyraz 1-go wiersza to 3. Dlatego:

2	4	8	a,		-5		'2	4	8 '	Cl j		'-5'
4-2-2	16-2-4	64-2-8	^a2	=	0-2-(-5)	=>	0	8	48	^a2	=	10
6-3-2	36-3-4	216-3-8	_^a3_		_5 — 3 -(—5)_		0	24	192	_^a3_		20

2-gi wyraz 3-go wiersza macierzy głównej dzielony przez jej 2-gi wyraz 2-go wiersza to 3, dlatego:

2	4	8	Q\		-5		“2	4	8 '	~^a\~		'-5'
0	8	48	CI2	=	10		0	8	48	^a2	=	10
0	24-3-8	192-3-48	_^a3 _		20-3-10		0	0	48	a3		-10

a-, =

2a, +4 a₂ + 8a₃ = 8 ci-, + 48a, = 10

48a,

-10

^a 2 =

_5_

24

10 - 48a,

8

2,5

(7, =

5 - 8a₃ - 4<7₂

20

T

f{x) = 3 - —x + 2,5x² - — x^J 3    24

i = 0, N (stopień wielomianu).

b) Postać Lagrange‘a: jest sumą ułamków, z który ch każdy ma postać: (x - x₀)(x - x, )(x - x₂)(x - x₃)...

(x, - x₀ )(x, - X, )(x, - x₂ )(x, - x₃)...

Nawiasów jest N, składników jest N + 1. Zawsze z licznika usuwamy nawias x - x„ z mianownika -nawias x, -x, (= 0).

Dla N = 3:

(x₀ -X,)(x₀ -x₂)(x₀ -x₃)

(x, -X₀)(x, -X₂)(x, -x₃)

r/.. ^ (x — x₀)(x — x,)(x — x₃)    _    , (x-x₀)(x-x,)(x-x₂)

J \^x2 ) , X, \ / X ⁺ ./ V^A3t

(x₂ -x₀)(x₂ -x,)(x₂ -x₃)

(x₃ -X₀)(x₃ — x, )(x₃ -x₂)

4