CCF20090601003

*

*

⁽ 7ZX^

5. Dokonać interpolacji funkcji /(x) = 3-5sin — w przedziale (0, 6) wielomianem 3-go stopnia:

a) w postaci naturalnej, b) w postaci Lagrange’a, c) w postaci Newtona. Rozkład węzłów -równomierny.

Wielomian 3. stopnia => 4 węzły; rozkład równomierny w przedziale (0, 6): x = [0, 2, 4. 6] a) Postać naturalna: W(x) = ao + ajx + a2X" + a3X . Współczynników szukamy z równania:

•*o

*i

x₂

^x0

7

*r

*₂²

_y3

^x0

*,³

X³,

X

po		f(x 0 )
^al		f(x 1)	-N
^a2		/(*2)	-/
l^a3_		_f (^x3 )_

1	0	0	0 '	~^ao		■ 3 '
1	2	4	8	^a\		-2
1	4	16	64	^a2		3
1	6	36	216	-^a3-		8

ao = o

j + 2ć/j 4- 4ci') 4- 8— —2 3 4- 4 ć/, 4-16a₂ 4- 64= 3 3 4- 6a, 4- 36a₂ + 216a₃ = 8

2ć/| 4-4ć/-> + 8ć7^ — —5 4a_} 4- 16a₂ 4- 64a₃ = 0 6a_x + 36a₂ + 216ć/₃ =5

2    4    8

4 16    64

6 36 216

cu

a

a

-5

0

5

1-szy wyraz 2-go wiersza macierzy głównej dzielony przez 1-szy wyraz jej 1-go wiersza to 2, 1-szy wyraz 3-go wiersza dzielony przez 1-szy wyraz 1-go wiersza to 3. Dlatego:

2	4	8	~^a\		-5		'2	4	8 "	^a\		"-5"
4-2*2	16-2-4	64-2-8	“2	—	0 - 2•(-5)	=>	0	8	48	«2	=	10
6-3*2	36-3-4	216-3-8	_«3_		5-3-C-5)		0	24	192	_^fl3_		20_

2-gi wyraz 3-go wiersza macierzy głównej dzielony przez jej 2-gi wyraz 2-go wiersza to 3. dlatego: 2    4    8

0    8    48

0 24-3-8 192-3-48

'i"}'		-5		'2	4	8'	’*i"		'-5'
a0	—	10	=>	0	8	48	"2	—	10
_P 3.		20-3-10		0	0	48	_<?3.		-10

^a 3 =-

.    20    _    ?    5    3

f(x) - 3--x + 2,5x--x

3    24

, i = 0,..., N (stopień wielomianu).

f (x,)

b) Postać Lagrange'a: jest sumą ułamków', z których każdy ma postać: (x - x₀)(x - x, )(x - x₂)(x - x₃)...

(x, - x₀ )(x, - X, )(x, - x₂ )(x, - x₃)...

Nawiasów jest N. składników jest N + 1. Zawsze z licznika usuwamy nawias x - x„ z mianownika -nawias x, -x, (= 0).

2af, + 4 a₂ + 8a₃ = -5 8ć/₂ + 48a₃ = 10 48a₃ =-10

(h =

_5_

24 10 - 48a

8~

= 2,5

- 5 - 8a₃ - 4a₂

20

3

Dla N = 3:

L(x) =    -*>>■; + f(x, ₎_^-^X-X₂Kx-X₃) ₊

+ f(x ₂)

(x₀ -x,)(x₀ -x₂)(x₀ -x₃) (x - x₀ )(x - x, )(x - x₃)

(x₂ -X₀)(x₂ -X,)(x₂ -x₃)

+ /(*. 3)

(x, -x₀)(x, -x₂)(x, -x₃) (x-Xq)(x-X|)(x-x₂)

(X₃ -X₀)(x₃ -x,)(x₃ -x₂)

4