CCF20090604000

Symetria sieci przestrzennych

Przypomnienie

Sieć przestrzenna - zbiór punktów (węzłów sieci) w przestrzeni trójwymiarowej, powstający na skutek działania trzech różnych translacji 7 F 7 ⁰ kierunkach niekoplanamych i jednocześnie nierównoległych

Translacja t - działanie polegające na przesunięciu o zadany

wektor    _

a

Sieć dwuwymiarowa powstaje na skutek działania dwóch różnych translacji ~a i ~b o kierunkach nierównoległych

9. A.Rybarczyk-Pirek

Przedstawione sieci różnią się symetrią, która została opisana za pomocą grup punktowych.

W każdej sieci odmienne są relacje między kierunkami i długościami wektorów translacji sieciowych. Oznaczmy długości tych wektorów przez a i b, a kąt między nimi jako y

9. A.Rybarczyk-Pirek    3

Układy krystalograficzne

Zależności między stałymi sieciowymi a, b, c, a, p, y (parametrami sieci) są wynikiem istniejących dla danej sieci elementów symetrii

symetria sieci		relacje między		układ odniesienia
opisana grupą punktową np. 2,4 mm 6/m, -3		stałymi sieciowymi np. a^b^c a=P=y=90°		X, Y, Z tzw. układ
		a=b=c a=P=y=90°		krystalograficzny

Grupy punktowe, których elementy symetrii powodują jednakowe ograniczenia stałych sieciowych, dają identyczny układ odniesienia zwany układem krystalograficznym.

9. A.Rybarczyk-Pirek    5

Czym różnią się przedstawione sieci?

=> rozmieszczeniem węzłów sieci (symetrią)

=> jakie elementy symetrii można wskazać dla każdej sieci?

9. A.Rybarczyk-Pirek

Sieć trójwymiarowa (sieć przestrzenna) powstaje przez zastosowanie 3 różnych translacji ~a ~c Sieć przestrzenna, podobnie jak sieć dwuwymiarowa, może być również symetryczna względem różnych operacji symetrii. Symetrię sieci przestrzennej można opisać symbolem grupy punktowej.

Analogicznie jak w sieci dwuwymiarowej, przy szczególnej symetrii sieci przestrzennej, ujawnią się specyficzne relacje między kierunkami i długościami wektorów translacji sieciowych.

Długości translacji sieciowych oznacza się jako a, b, c a kąty między nimi jako a, p, y.

Wielkości te zwane są parametrami sieci lub stałymi sieciowymi

9. A.Rybarczyk-Pirek

Układ krystalograficzny - układ odniesienia sieci krystalicznej oparty na osiach X, Y, Z.

W każdym układzie krystalograficznym jednoznacznie zdefiniowane są:

>    kierunki między osiami opisane przez kąty a, (3, y

>    relacje między długościami jednostek na osiach a, b, c (periodami identyczności sieci)

Układ krystalograficzny wynika z symetrii sieci, którą opisuje grupa punktowa

Jest 7 układów krystalograficznych, możnaje wyprowadzić na podstawie analizy symetrii sieci, zależnie od liczby, kierunku i krotności osi symetrii.

9. A.Rybarczyk-Pirek

1