CCF20091117006

238 | CIĄGI

Obliczanie granic

Ćwiczenie A. Rozważmy ciągi określone wzorami: a_n = 4 + ^ oraz b_n = 3 +

a)    Oblicz lim a_n oraz lim b_n.

n—co    n—co

b)    Niech c„ = a_n + b_n i d_n=a_n- b„. Zapisz wzory ciągów (c„) i (d„) i oblicz ich granice.

Poniżej podajemy własności granic, z których będziemy korzystać przy obliczaniu granic różnych ciągów.

Jeśli ciągi (a„) i (b_n) są zbieżne, to zachodzą równości:

Jeśli ciągi (a_n) i (b_n) są zbieżne i wyrazy ciągu (b_n) są różne od O oraz lim b_n 4 O, to:

n—co

lim (a_n + b„) = lim a„ + lim b„

n — oo    n — co    Al —00

i ■

lim r²- = n-°o b_n

lim a_n

M —oo

lim b_n

W—oo

lim (a„ - b„) = lim a„ - lim b„

n — oo    n — co    n —oo

Jeśh ciąg (a„) jest zbieżny i wszystkie jego wyrazy są nieujemne (a_n > 0), to:

lim (a„ ■ b„) = lim a„ ■ hm b„

n —oo    n —oo    n — oo

lim yojj =

n —oo

lim a

n —co

n

Zauważ, że z jednej z powyższych równości wynika, że dla dowolnej liczby rzeczywistej k, jeśli (a_n) jest ciągiem zbieżnym, to:

lim(k • a„) = k lim a_n

n—oo    n — co

Wiemy już, jakie granice mają ciągi stałe oraz ciągi typu Wiadomo także, kiedy ciąg geometryczny jest zbieżny. W poniższych przykładach pokazujemy, jak korzystając z powyższych własności, można obliczać granice ciągów o bardziej skomplikowanych wzorach.

przykłady

lim (5 + -y - -7) = li

n-co V n⁵ n² / n-

m 5 + lim - lim -^ = 54-0-0 = 5

-co n—co Y)-³ n—co Y)^c

t

lim -4 = lim

17— co    n—oo

i)

7 • lim -V = 7 ■ O = O

n-co n²

lim

n-co

= lim

n—oo

2-

lim

n—co