DSCN1124 (2)

Rozważmy funkcje f:D -+ R i g:D -* R określone wzorami 10x

/W-JJZT’ g(x) = 6-3^x+i.

Badając funkcje stwierdzamy, że każda z nich jest funkcją malejącą w każdym z przedziałów dziedziny D. Ponadto:

Jeśli x6(-00;0), to f(x)e(0;5) i g(x)6(3;6);

jeśli xe(0;-), to/(x)e(-oo;0) i g(x)e(6-3^/3; 3);

jeśli xe(-;oo), to/(x)e(5;oo) i 0(x)e(-oo;6 - 3^/3). Porównując otrzymane wyniki stwierdzamy, że liczba z przedziału co) nie spełnia nierówności, natomiast spełnia tę

nierówność każda liczba z przedziału (O; —). Można też wykazać, że w przedziale (- oo; 0) nierówność nie ma rozwiązania. Zatem zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział (0; -).

4.14.    Wskazówka. Przeprowadzić rozumowanie podobne jak w zadaniu 4.13.

Odp. xe(--;0).

4.15.    Wskazówka. Niech log,, x = y. Wówczas, po odpowiednich przekształceniach, daną nierówność można przedstawić w postaci

2    1    3

— + ---> 0.

y 1+ y 2+y

Stąd ye(—2; --)u(-l; -i)u(0, oo).

Wobec tego:

1    4

Jeśli ae(0;l), to xe(0; l)u(a"*; a~^l )u(a"3;a~²),

4    1

Jeśli ae(l ;oo), to xe(a^-2; a"3)u(a^_l; a~²)vj(l; oo).

4.16. Wskazówka. Ponieważ [x² — 4] e C i

1

x

równanie jest równoważne układowi równań:

gC, więc dane

Czyli

3x — 16.

f[x² _ 4] = o

9 = 0.

Stąd xe<2;5).

4.17. a) Korzystając z własności funkcji x -* [x] otrzymamy nierów-

,, 5x + 6 s 3x — 1 5x + 6 ^nosc—4——•

6x — 2 < 5x 4- 6 6x — 2 > 5x + 2, skąd xe(4;8>.

_A1 3x—1    2k+l , _

Ale —-—€ C. Wobec tego x = —-—, gdzie keC.

Uwzględniając to, że x 6 (4 ; 8) otrzymujemy warunek: ke{6, 7, 8, 9, 10,11}.

Znaczy to, że równanie ma 6 rozwiązań postaci 2k+ 1

x = —-—, gdzie keC i 6 ^ fc < 11. b) Rozumując podobnie jak w a) otrzymamy

4 k 4- 5

x = —-—, gdzie keC i —11 ^ k ^ 37.

4.18. Po przekształceniu dane równanie przyjmuje postać

__

Równanie (*) ma rozwiązanie tylko wtedy, gdy x² — 3x — 16 ^ 0. Stąd po uwzględnieniu, że xeJV

'9 + 7x

8

otrzymujemy x ^ 6. Ponieważ x — 1 < [x\

1 + 7x 8

< x, dla xeR> więc 9 + 7x

5 8 *

Dalej mamy l + 7x>0i9 + 7x>0 dla x ^ 6. Zatem

m

1 + 14x + 49x² 64

2    81 + 126x + 49x²

1    64

105