egzamin

Egzamin z matematyki dla studentów I roku PiE - 8.06.2005

Należy rozwiązać piąć zadań wybranych z poniżej przedstawionych ośmiu

Zaa.l. Znajdź równanie prostej k, przechodzącej przez punkt A = (2,4,-1) i prostopadłej do prostych \x = 9-5t

x y+1    z Ml . ,

— =-= — oraz <y = \—t

²]f    -⁵ [r = 4+10<

Czy punkt B = (—64,8, — 37) leży na prostej k ?

Zad.2. Naszkicuj na płaszczyźnie Gaussa

a Im(z - 5i) < —2

j4 = jzeC: |z-3 + 3ż|<3 Aargz²

Czy liczby będące rozwiązaniami równania z² +iz — 3z = 0 leżą w zbiorze A ?

Zad.3. Dane jest odwzorowanie

4y + x

T:R² -*R³

x + y

a) . Sprawdź tylko pierwszy warunek liniowości (addytywność).

B =

b) . Wyznacz macierz A tego odwzorowania (przy bazach kanonicznych) oraz oblicz (A ■ B)^T gdzie '1 0-

2 2

Zad.4. ^

~kx+y—kz — 0 x+ky~z — —k

a.    Zbadaj rozwiązalność w zależności od parametru k

b.    Rozwiąż dla k-2 i podaj interpretację geometryczną

Zad.5. Znajdź płaszczyznę styczną i prostą normalną

a.    Do wykresu funkcji /(x,y) = 3x² + 4xy³ w punkcie a = (1, - 2)

b.    Do powierzchni S: x² + y² + z² = 1 w punkcie P    0

Zad.6. Niech f(x,y) = x² +4xy . Znajdź

a.    Gradient/w punkcie P = (2, -1)

b.    Pochodną kierunkową w punkcie P w kierunku od P do Q = {3,5)

c.    Zinterpretuj wyniki z punktu b gdy funkcja f(x,y) określa temperaturę w punkcie (x,y)

Zad.7. Niech D będzie obszarem zawartym między wykresami funkcji y = 2x oraz y = x². Oblicz JJ(*³ +4y)da dwoma sposobami traktując obszar D jako normalny względem osi Ox oraz osi Oy

D

Zad.8.

^    x

a.    Naszkicuj dziedziny funkcji f (x, y) — arcsin—+ ln xy

b.    Znajdź ekstrema funkcji f (x,y) = 2 — (x + l)²—(y + 3)²