img013

PRZYKŁADY

Uwaga 2.1

Twierdzenia 2.2 nie można odwrócić, bowiem istnieją funkcje nieciągłe w danym przedziale, które mają w tym przedziale całkę nieoznaczoną.

PRZYKŁAD

23

Niech

/:R ₃ *->/(*):=<

|2jcsin—cosi dla*?tO,

0

dla x = 0

Odwzorowanie/ jest oczywiście ciągłe na zbiorze R \ {0}, ale jest ono nieciągłe w punkcie

* =0,

gdyż

/[—i—1 =—sin2/j/r-cos2njr = -l —>-1, gdy n ->°°

12nn J nn

oraz /

1

- + 2 nn

Można się jednak łatwo przekonać, że funkcja / ma w przedziale R funkcję pierwotną F określoną wzorem:

F(*) =

z sin- dlax?s0,

X

0    dla x = 0

(sprawdzenie, że F'(0) = /(0) = 0 pozostawiam Czytelnikowi).

W rachunku różniczkowym dowodzi się, że jeśli funkcja rzeczywista F ma pochodną (skończoną) w każdym punkcie przedziału I c R, to pochodna F’ nie może mieć w tym przedziale zwykłych nieciągłości zwanych też skokami lub nieciągłościamipierwszego rodzaju, co oznacza, że w każdym punkcie przedziału I jest ona albo ciągła, albo ma nieciągłości drugiego rodzaju (zobacz [3], strona 198).

Przypomnijmy, że funkcja rzeczywista/określona w przedziale I<zR ma w punkcie x₀e I: 1° nieciągłość zwykłą zwaną też skokiem bądź nieciągłością pierwszego rodzaju, gdy istnieje skończona granica lim f(x), ale nic jest ona równa wartości f(xj (w przypadku, gdy x jest

*->*o

lewym lub prawym końcem przedziału 1, granicę lim f(x) należy zastąpić odpowiednio granicą

x-tx₀

prawostronną lim f[x) lub granicą lewostronną lim /(*)),

x—*Xq+0    .r->xo-0

2* nieciągłość drugiego rodzaju, gdy którakolwiek z granic lim f(x) lub lim f(x)

ic->Xq-0    jc-uro+O

jest nieskończona lub w ogóle nie istnieje.

Z zacytowanego twierdzenia oraz z definicji 2.1 wynika natychmiast następujące Spostrzeżenie 2.2

Jeżeli funkcja rzeczywista/ma w przedziale / c R nieciągłość zwykłą zwaną też skokiem lub nieciągłością pierwszego rodzaju, to funkcja ta nic ma w przedziale I funkcji pierwotnej (zobacz przykład 2.1).

13