img030

30

który możne zsoitsć , po oapowiednin* przegrupowaniu wyrazów, w postaci

30

*1 “ * 11^X1 ⁴ *12*2 ^{4 X}2 * *21^X1 **22^X2 ⁴

+ aC . x	♦ b„
ln n	1
^4oC2n^xn	^4 b2

(2.12)

♦ b_

nl^xl ⁴*n2^x2 ⁴

gdzie    * a^ dla i / J oraz <* _il * a_il+l(l,J«1,.,n) , Oznaczay

przez Rⁿ zbiór wszystkich uporzędkowanych układów n liczb rzeczywistych (,x_1#...,x_n) i rozpatrzmy odwzorowanie f:Rⁿ—► Rⁿ, które każdemu elementowi x«(x.,•••,x_n) ze zbioru Rⁿ przyporządkowuje punkt y ■

« (y^.....y_n) określony wzorami

^yl “ ^11*1 ^4	aC	12^X2 ^4	••• ^+ ** ln*n ^ł bl*
^2 * * 21*1 ‘	o£	22^x2 ^4	••• ^4 *2n^xn ^4 b2*	(2.13)
Yn “ * nl^xi ^4	cC	n2^x2 ^4	••• * *nn*n * ^bn
, liczb> ^rlt,		-^rn •«	rozwiązaniom układu	(2.12) wtedy i tylko

wtedy gdy punkt r»(r^,.., ,r_n) Jest punktem niezmienniczym odwzorowania f określonego wzorami (2.13), Zatem przy rozwiązywaniu układu (2.12) możemy w niektórych przypadkach korzystać z twierdzenia Banacha, a w konsekwencji i z metody kolejnych przybliżeń.

Postawmy więc pytanie kiedy f:Rⁿ~*- Rⁿ Jest kontrakcję? Odpowiedź zależy od wyboru metryki w zbiorze Rⁿ. Rozpatrzmy dwa przypadki,

Z. Oeśli d(x,y) » max lx«-y,1, to (Rⁿ,d) » E Jest przeetrzenię 1614 n ^1    1

zuoełne 'uzasadnimy to później - zobscz ćwiczenia pc wykładzie 4) oraz

--tn.j.ffyn - -._njL *i₃<vV| V’Un

n

r—i

6    «8x    . jot. I •^,ax

UU" fcj_ ‘ ^J 1434"

^Xj-Yji

max

1 6 14 n

£>v,i^d<^x'y>

3-1

Zater. w tym przypadku odwzorowanie f określone wzorami (1.13) Jest n

zwęzajęce, jeśli ^ ł^|>Ł.,,|cl dla 1*1,.,»n, Ostatni warunek gwarantują    J-l ^J

te układ równań (2.12) ma dokładnie jedno rozwięzani#* r*(r^,,,,r_n) ę Rⁿ 1 to rozwiązanie można znaleźć netodę kolejnych przybliżeń. Roleaa ona ^ra ty«, 2« jako oierwsze przybliżenie rozwięzania r obieramy zupełnie

dowolny eTemen: x * (x_ł#...,8_n) ze zbioru Rⁿ. Podstawiając x^.....§_n

pc prawej stronie wzorów (2.13) zamiast x_l,...,x_n otrzymujemy jako