img051

IV. CAŁKOWANIE PEWNYCH WYRAŻEŃ

ZAWIERAJĄCYCH PIERWIASTKI Z FUNKCJI WYMIERNYCH

Dla lepszego zrozumienia dalszych zapisów przypominamy kilka definicji.

Definicja 4.1

Jednomianem k zmiennych (k e JV) rzeczywistych jc ,..., x_k o współczynniku rzeczywistym nazywamy odwzorowanie

(4.1)    W:R^k*{x_i,...,x_k)^W(x_l,...x_k):=ax?...x?

gdzie s_t,s_k e N u {0}, a e R.

Stopniem jednomianu (4.1) nazywamy liczbę r, + ... + s_t.

Wielomianem k zmiennych (ke N) rzeczywistych x, x_k o współczynnikach rzeczywistych

nazywamy jednomian postaci (4.1) lub sumę skończonej liczby takich jednomianów. Stopniem takiego wielomianu nazywamy największy ze stopni jego składników (wyrazów), którymi są oczywiście jednomiany.

Definicja 4.2

Funkcją wymierną k zmiennych (ke N) rzeczywistych x, ...,x_k o współczynnikach rzeczywistych nazywamy iloraz dwóch wielomianów określonych w definicji 4.1.

W dalszym ciągu funkcje wymierne k zmiennych rzeczywistych x,,..., x_k o współczynnikach rzeczywistych będziemy oznaczać symbolem    ..., x_k).

fax+b cx+d

Całkowanie wyrażeń postaci

Całki postaci

<«>

gdzie a,b,c,de R oraz całek typu

a b c d

= ad-cb*Q \p,q,..., r eN, można łatwo sprowadzić do

(«)    K(*

gdzie m jest najmniejszą wspólną wielokrotną liczb p, ą r. Taka operacja znana jest jako

sprowadzanie pierwiastków różnych stopni do pierwiastka stopnia wspólnego i nie jest ona trudna rachunkowo. Stąd w wielu podręcznikach omawiane są wyłącznie całki typu (4.3), które są tylko innym zapisem całek typu (4.2).

51