img080

80

6. Metody aproksymacyjne

Wówczas

m

C\x) = C\x) = Y, V*i,    (71)

i/=0

i w^łzory (66), (67) i (68) mogą być stosowane bez ograniczeń. Możemy to interpretować między innymi w ten sposób, że wzór (70) zadaje transformację n-wymiarowej przestrzeni cech w m-wymiarową przestrzeń „prostującą”, w której to przestrzeni obszary należące do różych klas, nieseparowalne liniowo w przestrzeni cech, dają się rozgraniczać hiperpłaszczyznami (71).

Ocena szans powodzenia rozpoznawania w konkretnym zadaniu z wykorzystaniem metod funkcji przynależności C^ł(z) mających postać agregatów określonych funkcji <p_v jest bardzo trudna. Jednak w sposób dość ogólny można wykazać, że prawdopodobieństwo poprawnego rozpoznania wyraźnie wzrasta przy przejściu od funkcji C‘(i) liniowych do - bogatszych w możliwości - funkcji nieliniowych. Dzieje się tak dlatego, że - jak wspomniano - na ogół m n. Na przykład dla funkcji C'(x) kwadratowej m = n(n -f 3)/2, zaś dla funkcji C*(ąr) będącej wielomianem stopnia ^

gdzie

fⁿ + M) _ (ⁿ + Z¹)-\ M ) ⁿW-

oznacza symbol Newtona.

Wpływ wielkości m na prawdopodobieństwo prawidłowego rozpoznania oszacować można na podstawie następującego prostego rozumowania: N punktów (na przykład wszystkie punkty ciągu uczącego) podzielić można na dwie klasy (rozważamy najprostszy przypadek /, = 2) ogółem na 2^;V sposobów(³). Za pomocą hiperpłaszczyzn(⁴) w m- wy miarowej przestrzeni te A^r punktów podzielić można na L(N_}m) sposobów. Zatem prawdopodobieństwo tego, że uda się za pomocą generowanego w procesie uczenia

(³)    Zakładamy, że wszystkie punkty znajdują się w m-wymiarowej przestrzeni w tak zwanym ogólnym położeniu, co oznacza, że żaden podzbiór m + 1 punktów nie leży w całości na żadnej (m — 1)-wymiarowej hiperpłaszczyźnie (na przykład dla m = 2 oznacza to, że żadne trzy punkty nie leżą na jednej prostej).

(⁴)    Funkcje C‘(x) generują zawsze podziały liniowe m-wymiarowej przestrzeni prostującej, zadanej transformacją x_u = </v(:r).