88
7.3. Stany równowagi w sieci Hop field a
które zwykle ulega dodatkowemu uproszczeniu, ponieważ przyjmuje się, że = 0 dla wszystkich m i dla wszystkich j > 0. Uproszczenie to ma następującą interpretację. W chwili początkowej (j = 0) do neuronów sieci (wszystkich, albo tylko niektórych, wybranych) doprowadza się sygnały wejściowe ^ 0. W wyniku tego na wyjściach neuronów sieci wytwarza się zestaw sygnałów wyjściowych Y'*b W tym momencie sygnały wejściowe zostają odłączone i aż do końca symulacji nie uczestniczą w obliczeniach (xm = 0), natomiast w sieci zaczyna się rozwijać pewien proces, polegający na wyznaczaniu kolejnych wartości Y«> (j = 2,3,...) na podstawie zależności
y0'+») = 3 (y(i))
Proces wyznaczany przez kolejne wartości
yfO^ y(a)J y(3)ł ł yti-0, yO')^ ytf+Ot
można obserwować w przestrzeni stanu y C 7?.*, do której należą wszystkie wektory sygnałów wyjściowych z elementów sieci Y^b W tej przestrzeni możliwe są wszystkie szeroko znane procesy, jakie związane są z realizacją nieliniowej rekurencyjnej zależności yti+O = e (Y^J), a mianowicie możliwe jest stabilizowanie się przebiegów i ich zbieżność do określonych wartości Y", możliwe jest pojawianie się oscylacji wartości Y(->* i związanych z nimi cykli oraz orbit w przestrzeni .V, możliwe jest powstawanie przebiegów rozbieżnych, w ramach których wartości niektórych (lub wszystkich) zmierzają do nieskończoności, wreszcie przewidywać można w tym systemie pojawianie się chaosu.
O wyborze jednej z tych możliwości decyduje oczywiście zestaw współczynników Wagowych Wf . Stosunkowo wcześnie (1983) Cohen i CJrossberg wykazali, że sieć generuje stabilne rozwiązania, jeśli uniemożliwi się autoasoojacyjność pojedynczych neuronów
oraz zapewni się symetrię sieci
to sieć wykazuje stabilność zachowania. Nawet jednak przy stabilnym zachowaniu sieci pozostaje otwarty problem wyboru przez sieć konkretnego stabilnego stanu docelowego Y". Takich możliwych stanów jest oczywiście nieskończenie wiele i dlatego potrzebne jest precyzyjne kryterium, określające, który z nich zostanie przez .sieć ,,wybrany”.
Problem wyboru określonego „docelowego” stanu sieci można traktować jako problem wyboru stanu o mimimalnej „energii” sieci. Funkcja „energii” jest tu oczywiście wprowadzona w sposób czysto umowny, w rzeczywistości należy raczej mówić o funkcji Lapunowa, jednak większość autorów przyjmuje za Hopfieidem tę energetyczną metaforę. Funkcja „energii” może być dla sieci zdefiniowana w sposób następujący:
.€ m€»t r€ W .€»I