img126

126

A zatem szukany wielomian ma postać:

P₃(t) - ' 55 (t³ * ^4ę2 + 3t)(-17) ♦ £ (t³ - 2t² - 5t ♦ 6) 5 -

. 1 (_t³ - t² - 6t) 7 ♦ ^ (t³ ♦ t² - 2t) 23 = t³ - 2t² ♦

+ 3t ♦ 5

Stosowanie wzoru Lagrenge'a nie Jest trudno, ale niekiedy wymaga oporo rachunków. Często wygodniejszy jest inny wzór, mianowicie wzór Newtona³* Polega on na przedstawieniu interesującego nas wielomianu w postaci

*_B(t) - a₀ + e₁(t-t_|>) ♦ a₂(t-t₀)(t-t₁) ♦ ... ♦ a₀(t-t_Q)

... (t-tj

Współczynniki wielomianu w_m należy dobrać tak, aby spełnione były zwięzkl w^t^ ■ f(t_Ł) dla i « 0,1,....n. Robimy to w ten sposób,żo podstawiamy kolejno t ■ t_Q, t * tj, .... t = t^ i po każdym podstawieniu otrzymujemy jeden ze współczynników: najpierw a^, potem i w koó-cu a^.

7.2. Niech

KO ■    - f(t₀) - It hf'(t_o) - ...

n

— - Sr *-#^<-^,(t₀> j

i oznaczmy przez £ (h) różnicę F(h) - f^^B1+1^(t₀). Należy wykazać, 2a

lim F(h) ■ f(^ffl**)(t ). Zauważmy, że aby obliczyć lim F(h) wystarczy h — 0    ⁰    _%    h —*• 0

zastosować a-krotnie regułę de 1'Hospitala (zobacz zadanie 6.13) i wówczas

lim h 0

Ile F(h) h — 0

Ostatnia granica istnieje z założenia, a zetom lim F(h) ■    )

h —o    °

co należało wykazać.

Zauważmy, że z powyższego dowodu wynika, że wzór Taylora z resztę Peano Jest słuszny przy nieco słabszych założeniach, mianowicie wystar-

Izaak Newton (4.1.1642 - 31.III.1727) - fizyk, mechanik, astronom i nm team tyk angielski, twórca (równolegle z wielkim uczonym niemieckim Gottfriedem Wilhelmem Leibnizem (1.V11.1646 - l4.Xl.l7l6) podstnw rachunku różniczkowego i całkowego. Newton zajmocpł sią też pod^tewomi teorii powszechnego ciążenia oraz sformułował trzy podstawowe zasady mechaniki klasycznej. Jest twórcą metody przybliżonej- rozwiązywania równać (tzw. metoda stycznych Newtona), słynnego wzoru zwanego dvur.il*-nem Newtona i wielu innych.