img292

14. ANALIZA KANONICZNA

Współczynnik korelacji prostoliniowej rozpatrywany w pierwszej części skryptu mierzy zależność między dwiema zmiennymi losowymi. Omawiany w tej części skryptu współczynnik korelacji wielokrotnej mierzy z kolei zależność między jedną zmienną losową i układem innych zmiennych. W rzeczywistości jest to maksymalny współczynnik korelacji między daną zmienną a kombinacją liniową pozostałych zmiennych — a zatem jest to współczynnik korelacji między daną zmienną i jej najlepszą (tu: w sensie minimum błędu średniokwadratowego) predykcją zbudowaną na tych pozostałych zmiennych.

Analiza kanoniczna zajmuje się uogólnieniem koncepcji korelacji w przypadku współzależności pomiędzy dwoma zbiorami zmiennych losowych. Innymi słowy, w ramach analizy kanonicznej szuka się odpowiedzi na pytanie jaki jest zakres równoczesnego

wpływu całego zbioru zmiennych niezależnych x = x_it x₂.....x_p na cały zbiór zmiennych

zależnych y = y,, y₂, •••»    ?

Odpowiedzią jest pewien syntetyczny wskaźnik statystyczny, informujący o zakresie determinacji (tzn. określania) zbioru zmiennych * względem zbioru zmiennych y, jest to liczbowa miara „korelacji" między dwoma zbiorami zmiennych o różnej ich liczbie.

Korzystając z metod analizy kanonicznej można również uzyskać odpowiedź na bardziej szczegółowe pytania, takie jak:

—    który zbiór zmiennych niezależnych, spośród kilku możliwych wyjaśnia największy zakres zmienności (wariancji) w obrębie zbioru y?

—    czy wprowadzenie nowych zmiennych niezależnych lub zależnych, przy zachowaniu wyjściowej struktury zbiorów x i y, zwiększa zakres wyjaśnionej wariancji całkowitej?

—    które zmienne przestrzeni x, rozpatrywane łącznie, wyjaśniają największy zakres wariancji dla zmiennych przestrzeni y, również rozpatrywanych łącznie?

Rozważmy układ dwóch zbiorów zmiennych losowych [x, y], gdzie

x - [*,, x₂.....x_p]^T jest wektorem zmiennych objaśniających,

y = [y,, y₂.....y_q]^T — wektorem zmiennych objaśnianych.

Interesuje nas złożony związek między zbiorami x i y, a mówiąc ściślej: chcemy za pomocą zmiennych x prognozować zmienne y.

Macierz kowariancji układu [jc, y] można wyrazić w postaci blokowej jako

292