img307

liczbę wydzielonych czynników oraz składowych ogranicza się najczęściej do kilku najważniejszych. a równocześnie takich, które nie stwarzają trudności przy merytorycznej interpretacji. Z tych właśnie przyczyn analiza czynnikowa i analiza głównych składowych rozważane są łącznie.

Rozwiązanie układów równań (15.10) lub (15.11) wymaga wykonania dwóch czynności: wyznaczenia ładunków czynnikowych, a następnie obliczenia wartości czynników lub składowych. Przekształcając w tym celu wzór (15.11) otrzymuje się

F= W ~'Z

Dodatkowo zakłada się. że macierz ładunków czynnikowych jest macierzą ortogonalną, co prowadzi do wzoru:

(15.12)

F = W^TZ

Podstawową rolę przy obliczaniu ładunków spełnia macierz korelacji R =

(,k, n = 1,2, .... AO. określona wzorem (15.4). Ponieważ jest to macierz korelacji między zmiennymi standaryzowanymi, zatem

cov (Z_h Z_n) s_ts_n

M

(15.13)

gdyż z_k = z_n = 0 oraz s_k = s_H = 1.

Do powyższego wzoru w miejsce standaryzowanych wartości z_mk oraz z_>nn wstawić można równoważne z nimi liniowe kombinacje czynników — według wzoru (15.7) — a po odpowiednich przekształceniach otrzyma się zależność współczynnika korelacji od ładunków czynnikowych:

'kn = ^wki ^w*\ + ^wk2 K'*2⁺--- + ^wkM ^wm    (15.:14)

Współczynnik korelacji dla dwóch różnych zmiennych równy jest zatem sumie iloczynów ładunków czynnikowych znajdujących się przy wspólnych czynnikach tych zmiennych.

Dowodzi się również, iż współczynnik korelacji między standaryzowaną /i-tą zmienną pierwotną a m-tym czynnikiem jest równy odpowiedniemu ładunkowi czynnikowemu, tzn:

(15.15)

Wariancję każdej zmiennej

307