kolo bartol I 03 04 by jazu

ANALIZA MATEMATYCZNA, 2003/2004, KOLOKWIUM I, 22 listopada 2003

1.    (5+5 pkt) Oblicz granicę ciągu (a„), gdy

(^a) °»= I^!)^C0Sn

W «.= («)"•

2.    (10 pkt) Zbadaj zbieżność ciągu a_n = (l + ³-^^)⁴ⁿ .

3.    (10 pkt) Zbadaj zbieżność ciągu a_n =    + ... +

4.    (10 pkt) Niech a\ = 2 oraz On₊₁ = —jg dla n > 1. Wykaż zbieżność ciągu (a_n) i oblicz jego granicę.

5.    (5+5 pkt) Zbadaj prawdziwość każdego z następujących zdań:

(a) Jeśli ciąg (a_n • b_n)' jest zbieżny do granicy skończonej i ciąg (b_n) jest ograniczony, to ciąg (c^) jest zbieżny do granicy skończonej.

(b)    Jeśli 6_n > 0 i 26_n+1 < b_n dla każdej liczby naturalnej n, to ciąg (6„) jest zbieżny.