Macierze i wyznaczniki2

T

66    Macierze i wyznaczniki

Rozwiązaniem równania jest macierz

-1 -3 i -2

X =

b) Odejmując od drugiego równania podwojone pierwsze otrzymamy

Y

1 0 0 1

-2

I 1 0 1

-1 -2 0 -1

Odejmując teraz od drugiego równania potrojone pierwsze uzyskamy

-X =

1 0 0 1

-3

1 1 0 1

-2 -3 0 -2

Zatem rozwiązaniem układu równań jest para macierzy

2 3 0 2

X =

y =

-1 -2 0 -1

• Przykład 3.4

Obliczyć kilka początkowych potęg macierzy A, następnie wysunąć hipotezę o postaci macierzy Aⁿ, gdzie n 6 N i uzasadnić ją za pomocą indukcji matematycznej

a) A =

i 1 0 -i

b) A =

1 0 1 0 1 0 1 0 1

^:

Rozwiązanie

a) Mamy

i 1

0 —i

A* = A² ■ A =

A⁵

A² -A* =

	-1	()'		' -1	°1 =
	0	-1		0	-ij
	’ -1	o'		—i	-i.W
	0	-]		0	^li L

= A.

A = A - A ■

'i r		’z r		'i^2 O'		'-1 o'
0 -i		0 —i		. 0 (-i)^2		0 -1

A — A - A

i 1		-i	o		—i -l'
0 -i		o _1	-1		1 o 1_

_fsr_a podstawie zauważonych prawidłowości w macierzy A" dla n = 1,2, 3,4,5 wysuwamy hipotez? o postaci tej macierzy

dla	n — 4k + 1,
dla	n = 4k + 2,
dla	n = Ak + 3,
dla	n = 4fc + 4,

gdzie k = 0,1,2,3,... .

i 1

0    -i

-1 0 0 -1

-i -1 0 i

1    o'

0 1

Przeprowadzimy teraz dowód tej hipotezy dla n = 4k + 1 za pomocą indukcji matematycznej. Udowodnimy więc wzór

j4^4fc+1

i 1 0 -i

dla k = 0,1,2,... . Dla k = 0 i k — 1 wzór jest prawdziwy. Niech k będzie dowolną liczbą naturalną. Załóżmy, że wzór jest prawdziwy dla k. Pokażemy, że jest on prawdziwy także

dla At+.l. Mamy

założenie |	’ z r		' 1 o'		'i r
indukcyjne	0 -i		0 1		0 —i

Zatem z prawdziwości hipotezy dla k wynika jego prawdziwość dla k + 1. Ponadto wzór jest prawdziwy dla k = 1, więc z zasady indukcji matematycznej wynika, że jest on prawdziwy dla każdej liczby naturalnej oraz dla k = 0.

Uwaga*. Wzór ogólny na n-tą potęgę macierzy A ma postać

'10 1'		'2 0 2"
0 1 0	=	0 1 0
.1 0 1.		.2 0 2.
'2 0 2'		'4 0 4'
0 1 0	=	0 1 0
.2 0 2.		.4 0 4.
'2 0 2' 0 1 0	=	'8 0 8" 0 10
.2 0 2		.8 0 8

3 II	1 -1 X c r—1 <N I £ -■s» i_		i 3	. 717T “1 sin —
	L o (-<)» J		O	(-i)'^1 J

gdzie [uJ oznacza część calkowią liczby u. b) Mamy

ii u	'ior 0 1 0 .10 1.
A^2 = A ■ A =	'ior 0 1 0 .10 1.
A^3 = A ■ A^2 =	'ior 0 10 .10 1.
A^4 = A^2 ■ A^2 =	'2 0 2' 0 10 2 0 2