Rachunek rozniczkowy

Część I: Rozwiązać następujące równania różniczkowe:

1.

o zmiennych rozdzielonych:

-3 = 0

Dodatkowo określić obszar oznaczoności równania,

obszar istnienia i jednoznaczności rozwiązania, wskazać rozwiązania osobliwe, gdy istnieją. Jeśli to możliwe, naszkicować przestrzeń fazową.

2.

liniowe niejednorodne I-go rzędu:

y'~

2x

\ + x²

y =

4x² 1 + x² '

a następnie znaleźć rozwiązanie szczególne

spełniające warunek początkowy y(0)= — .

3.    liniowe o stałych współczynnikach niejednorodne: y’”+6y”+9y’=e'\

Część II: Funkcje wielu zmiennych:

4.    Wyznaczyć dziedzinę funkcji dwóch zmiennych: z = ln^ + ^ysin* .

5.    Napisać równanie płaszczyzny stycznej i prostej prostopadłej do wykresu podanej funkcji we wskazanym

punkcie P₀:    z = ln(x² - y)~ xy² P₀(3;8;-192)

6.    Wyznaczyć gradient funkcji f w punkcie M(xo;yo;zo):

f (x,y,z) = ln(x -    + _y²)+ xy sin z M(.

Część I: Rozwiązać następujące równania różniczkowe:

1.    zmiennych rozdzielonych: (e²'+l)dy+2ye²xdx=0. Dodatkowo określić obszar oznaczoności równania, obszar istnienia i jednoznaczności rozwiązania, wskazać rozwiązania osobliwe, gdy istnieją. Jeśli to możliwe, naszkicować przestrzeń fazową.

2x-3

2. liniowe niejednorodne I-go rzędu: y'-\--5—y = 1, a następnie znaleźć rozwiązanie szczególne

.    x

spełniające warunek początkowy y(2)=4.

3.    liniowe o stałych współczynnikach niejednorodne: y -36y =xe⁶\

Część II: Funkcje wielu zmiennych:

4.    Wyznaczyć dziedzinę funkcji dwóch zmiennych: z = yfy ln(x² +_y).

5.    Napisać równanie płaszczyzny stycznej i prostej prostopadłej do wykresu podanej funkcji we wskazanym

punkcie Po: z = — x² ln y - yj2x² + y²    ^o{~ 2;1;—3)

6. Wyznaczyć gradient funkcji f w punkcie M(xo;yo;zo): f(x,y,z) = x-(cosy—arctg^+xy\nz    M{—2;1;1).