str207

§ 1. WIADOMOŚCI OGÓLNE 207

3. Wyznaczyć ogólne rozwiązania następujących równań:

§ 1. WIADOMOŚCI OGÓLNE 207

d²z ₃ a) —+4x³ = 0, dxdy

8²u du

dx² dx ^y    7 dx² ' dxdy

4. Wyznaczyć rozwiązania równań spełniające dane warunki

8²u

b)

d²z dz

dxdy dy

+— = 0,

d²u 8²u d) T-5 + T-T- == 0.

a)

• — 2xsiny = 0, u(x, 0) = x , u(0, y) — siny,

8xdy

d²u 8²u    ,    ,

b) ^r + ^2 = °> h(*,0) = x⁵, u(0,y) = >’³,

c)

8x8y⁺8y² d²u du

=0, w (x, 0) = x³, u(0, y) = y⁷.

8x8y 8y

5. Wyznaczyć ogólne rozwiązania równań

a)

8²u

8xdy Odpowiedzi

— 2xz = 0,

d²u , 3

_b)-₂-2,V = °

1.    Tak.

2.    Tak.

3.    a) z(x, y) — -x⁴y+.F(x) + G(y),

b)    z(x, y) = A(y)e~^x+ $(p(t)e‘~^xdt lub z(x, y) = A(y)e~^x+F(x),

o

c)    u(x,y) = A(y)e?-(x+i)y + (p(y),

d)    u(x,y) = F(y)+G(x-y).

4.    a) u(x, y) = x²(2—cosy) + siny, b) u(x, y) = x⁵ + x³+(y —x)³, c) u(x, y) = e^xy⁷+x³.

5.    a) m(x, y, z) = x²yz + F(y, z)+G(x, z),

b) u(x,y,z) = x²y²z³+xF(y, z)+G(y, z).

§ 2. Klasyfikacja równań liniowych z dwiema zmiennymi . i ich postać kanoniczna

Definicja 1. Równaniem różniczkowym cząstkowym liniowym rzędu drugiego o niewiadomej funkcji w(x,y) dwóch zmiennych niezależnych x i y nazywamy równanie następującej postaci:

8²u    8²u    8²u du du

^A^ ^{+ B}d7d~y^+Cl? ^{+ a}fx^+bT,^+CU*^d~^l>-

(2.1)

gdzie A, B, C, a, b, c, d są danymi funkcjami dwóch zmiennych x i y o ciągłych pochodnych w pewnym obszarze płaskim D.