skanuj0017 (25)

Metoda analizy regresyjnej

Na rys. 5.5a punkty obserwowane leżą blisko linii regresji, natomiast na rys. 5.5b‘ często są bardzo oddalone. Odchylenia są oczywiście spowodowane wpływem czynników ubocznych.

W omawianym przypadku regresji jednowymiarowej pewną ocenę rozrzutu punklów obserwowanych względem linii regresji daje wariancja

•&.$ = -TT ) , [Xn-x(l<n)Y

N

(5.122)

którą w przypadku regresji wielowymiarowej wyraża wzór

A’

, [*I~H««U I//.J,    U_ns)Y

"Wariancja ta jest tym mniejsza, im mniejszy jest rozrzut punktów obserwo-'-wanych wokół linii regresji, a więc im ściślejszy jest związek zmiennych losowych ^KXi U. : Vi’-v, ••:• ••    ••• .    ; '' '    , • V,

Dla określenia związków między dwiema zmiennymi losowymi X i U stosuje się współczynnik korelacji¹⁾, określony na podstawie obserwacji x„, u„ (n==l, '2, ...j" N) wzorem    •

(5.123)

Rxu —

Ei fan A') (l/„    U)

n-= 1

m.

l / N    N

y E ('V»—A-)² E («»—:w)²

p «-l    ,1-1

(5.124)

w którym:    • •    -.-•••

m_xu — moment korelacyjny zmiennych losowych X i U; s_x —odchylenie standardowe zmiennej losowej A'';    ...

s_u —odchylenie standardowe zmiennej losowej U. "    '    ~

Współczynnik korelacji stanowi standaryzowany (unormowany) moment korelacyjny. Współczynnik korelacji charakteryzuje w zależności statystycznej tylko stopień zależności liniowej.

Jeżeli zależność między zmiennymi losowymi X i U, wyznaczona przez smugę na wykresie punktowym korelacji (rys. 5.3), nic jest liniowa, to współczynnik korelacji liniowej R_xu źle ją charakteryzuje. Celowe jest wtedy posługiwanie się współczynnikiem korelacji krzywoliniowej (zwanym także wskaźnikiem korelacji [5.3]), określonym wzorem

R.

fan A’) (x_n x)

«-I

•Fi '

E (a„-.a)² E (A_n-A-)²

ni * _xx_

s_xsc

(5.125)

t

n« 1

• ^ł> Wyrażenie R_xu (5.124) jest współczynnikiem korelacji z próby, czyli estymatorem współczynnika regresji. Dla odróżnienia od współczynnika korelacji (2.47) stosujemy w indeksach dolnych małe litery x i u. Podobnie wyrażenia m_xu, s_x, s„ są estymatorami z. próby. Jeżeli wartości u„ (n = 1,2,..., jY)były ustalone z góry w doświadczeniu, to wielkości u, nie są zmicnnyrm losowymi, a wyrażenie R_xu (5.124) nic jest w zasadzie współczynnikiem korelacji z próby, pomimo identycznego wzoru.

*

Ocena zgodności funkcji regresji z danymi doświadczalnymi przy czym funkcja regresji    _#

X = x(t*d .    <    ••    (5.126)

zawiera efekt nieliniowy. W przypadku gdy x(u„) jest funkcją liniową.    '.:    \

X = xĄ-b(ii_n-u)    (5 127)

łatwo zauważyć podstawiając (5.127) do (5.125), że *'    . .

1-*U    - •    .....    • ’(5.12S) |

’ W przypadku regresji wielowymiarowej do określenia związków między dwiema zmiennymi losowymi,, jednowymiarową X oraz wielowymiarową (Ł/j, U₂,-',Us) stosuje się współczynnik korelacji wielowymiarowej określony przez' analogię do (5.125) wzorem    .    <.    ? '

XI (*„—X(X—X

/l~l

(5.129)

■: ..    i. "    '

’ *■

; '(5.130) ;

»*>7

]/X (^n-S)² X (X-A-)² " «“*1 1

przy czym funkcja regresji

Xn x(u_nl, ll_n2, •••» U_nS)

przedstawia całkowity efekt zmiennych losowych U_x, U₂, Wyłącznie..

Biorąc pod uwagę niedostatki współczynnika korelacji liniowej w przypadku nieliniowych zależności funkcyjnych, K. Pcarson wprowadził do oceny zgodności . r_V funkcji regresji -z danymi doświadczalnymi "miarę zwaną stosunkiem korelacyjnym. Stosunek korelacyjny ' (iciślej jego kwadrat) jest to stosunek wariancji punktów funkcji regresji x(u) do wariancji punktów obserwowanych X w przestrzeni korelacji

N

X (X-*)²

(5.131)

-Jf X (x_n~xj²

. Ponieważ, jak wykażemy dalej w p. 5.9, cHa funkcji regresji zachodzi związek (5.174) •    .    .    ...    ; -    •    .

(5.132)

_2 " .

.więc

(5.133)

przy czym —jeśli wszystkie punkty obserwowane pokrywają się z punktami funkcji regresji, a więc istnieje ścisła zależność funkcyjna — to stosunek korelacyjny równy

jest jedności.    4--......■■..... ;    •    ■'

Badanie stosunku korelacyjnego umożliwia bezpośrednie określenie, w jakim stopniu proces’ jest zdeterminowany przez wielkości mierzone. W pewnych -przypadkach może się okazać niezbędny pomiar dodatkowych wielkości, oddziałujących na proces, aby móc stosować efektywne sterowanie.

111