skanuj0009 (44)

Metoda analizy regresyjnej

^T:*V.V

W naszym przypadku, podstawiając (5.10) do (5.11), otrzymujemy ••

(5.12) W

n    ,y    >    '    ' ■‘■•■i

*Sr ~ E ^e“ ⁼ E (^xn-bo-bi u„y '

Aby zminimalizować Ą* względem i /;_x, wyznaczamy pochodne cząstkowe Q względne b₀ i b_x:    .

n    1

^K = ~²2^    (5.13)

rt »1

db₀

dS_R

k Ady.

db.

_    jy

= —2(x_n—b₀-b_lu„)u_H

X    «-i

i przyrównując je do zera otrzyhiujemy tzw. układ równań normalnych:

■ (5.14) ;H

/V    /V    ,

X! ^w«^8:3 2 *«    ^;i'•

1

1

II •+1    II«I

N    -W    W

(5.15)+gg

.....r^miss

(5.16)

z którego po rozwiązaniu otrzymujemy współczynniki:

■v?^;‘

.W    J    w    w

•    TT 2    ^

n~l -    ™ _n~ 1    n-1

w

(5.1S) -g

"W otrzymanych wzorach wszystkie sumowania są jednakowe i przebiegają T_;^:?g od 1 do N_t dlatego też w dalszym ciągu dla uproszczenia postaci wzorów będziemy pomijać oznaczanie granic sumowania. ^    .......    ^

W naszym przypadku, na podstawie tabl. 5.1, otrzymujemy kolejno: ■- .'-V 'r£i-

N * 9    • n’;

m_b* 0+4+...+68*23.4 •’ ‘ x_n = 66,7+71,0+ ... +121,1 = 811,3 ]Tu_n² * 0²-4²+ ... +68² * 10144 .    2 u„x„ * O-66,7+4-71,0+ ...+68-121,1 * 24628,6

= -S Mn ^A~n/77 _ 3534,8 __ ^ gyQg

Zut-(Zu_n)²lN 4060

&₀=E E ^ = ⁶⁷>⁵¹

. Zależność stochastyczna, korelacja, regresja oraz ostatecznie, zgodnie ze wzorem (5.9), otrzymujemy    ;/    ^:    :

S^r'(5.19)

x = 67,51+0,6706«

Otrzymany .wynik można porównać z danymi doświadczalnymi, (tabl. 5.1). Otrzymujemy tabl. 5.2. Tablica ta wykazuje dobrą zgodność wyników dla n~ 2, 3, ...,7, natomiast na krańcach przedziału temperatury obserwujemy większe odchylenia. .    •. >    ^:,~h • '•

-'iiiV ,

Tablica 5.2

11	"n	xn	A . Xn
. j	„.OL. . :	_66,7	67,5 ....	.-0,8 • .
. .. 2	^J . 4 -•••-	71,0 ••	"71,0	^:"""^r0,0"~ .
■ i* * * -3	10"	. 76,3	' '76,2	•• .. +0,T..;/-■
.,ą 4		• • 80,6	, ! 80,6	••'"0,0 •
• ■ ’5 ' '	2L“ '	" 85,7 _ *	85,8	■•~b,r.■* ,
6	- -29	T>2,<T	“ ' 92,7 i	7“'"“Ho;2:r,
• 7	36	99,4	98,8	+0,6
8 '	51	113,6	111,9	’ +1,7
9 • ’ ■'	" 68 •" '	125,1 ■*’	126,7	-1,6 •" * '' • i

Poza tym tabl. 5.2 umożliwia zaobserwowanie bardzo istotnej własności zasady' najmniejszej sumy kwadratów, w postaci związku . •    ,

(5.20)

.: i>.=°

n=l

który otrzymujemy uwzględniając wzór (5.8)

N    N

/, g. = T    (x,—

r$;.

oraz warunek zerowania się pochodnej cząstkowej dS_R/db₀ (5.13).

Związek (5.20) kryje w sobie bardzo istotną treść, dlatego zatrzymamy się" przy nim., dłużej. Jeśli zakłócenia rzeczywiste mają wartość średnią różną od zera, to ich wartość, średnia'powiększa parametr b* mojdclu obiektu,. Inaczej mówiąc, posługując się zasadą najmniejszej symy kwaarat&w/nie można wykryć’wartości średniej zakłóceń, różnej od zera. .. ; .    -. •    - • ; .    .    •    .

5.3. Zależność stochastyczna, korelacja, regresja

- W analizie, matematycznej istnieje pojęcie zależności funkcyjnej, .którym chętnie posługujemy się w różnych działach nauki i techniki. Istotą zależności funkcyjnej pewnej zmiennej x od zmiennej u jest jednoznaczne przyporządkowanie każdej możliwej wartości u określonej wartości x, co zapisujemy    .    .    ■

x=f(u)

: : • (5.21)