skanuj0017 (25)

Metoda analizy kegresyjnej

Na rys. 5.5a punkty obserwowane leżą blisko linii regresji, natomiast na rys. 5.5b‘ często są bardzo oddalone. Odchylenia są oczywiście spowodowane wpływem czynników ubocznych.

W omawianym przypadku regresji jednowymiarowej pewną ocenę rozrzutu punktów obserwowanych względem linii regresji daje wariancja

N

*Lx-^y¹, fa-Sfa)]² .    ■ „    ......    (5.122)

«-i

którą w przypadku regresji wielowymiarowej wyraża wzór

A’

=-j^2_j[Xi-x(u_nl,i/„₂,...,^u„_s)]²    ...    (5.123)

Wariancja ta jest tym mniejsza, im mniejszy jest rozrzut punktów obserwowanych wokół linii regresji, a więc im ściślejszy jest związek zmiennych losowych ^vATi U. i -₄’-v, •••.•••    ^    •:

Dla określenia związków między dwiema zmiennymi losowymi X i U stosuje się współczynnik korelacjiokreślony na podstawie obserwacji x„, u„ (n—1, 2,

N) wzorem    .

u

E (p^n A')(t/„ li)

■ ⁿ°¹    ........... = Uza-    (5.124)

N    N    S_XS_U "

E C-y«—■¹)² E (m»—k)²    -V-.-w,' ;•

n—l    n—1

w którym:    . .    . ...

m_xu — moment korelacyjny zmiennych losowych X i U; s_x —odchylenie standardowe zmiennej losowej A';    . .

— odchylenie standardowe zmiennej losowej U. "

Współczynnik korelacji stanowi standaryzowany (unormowany) moment korelacyjny. Współczynnik korelacji charakteryzuje w zależności statystycznej tylko stopień zależności liniowej.    __

Jeżeli zależność między zmiennymi losowymi X i U, wyznaczona przez smugę na wykresie punktowym korelacji (rys. 5.3), nic jest liniowa, to współczynnik korelacji liniowej R_xu źle ją charakteryzuje. Celowe jest wtedy posługiwanie się współczynnikiem korelacji krzywoliniowej (zwanym także wskaźnikiem korelacji [5.3]), określonym wzorem

R,

N

E C^n x)(x„ A')

n—1

l/ E (x„-5)² E (A'_n-A-)²

V fl-1    n«1

m ¹

XX

SjrSC

(5.125)

Ocena zgodności funkcji regresji z danymi doświadczalnymi przy czym funkcja regresji    .    V • : ^;.' -

x_u — x(it,)    i •    "    :    (5.126)

zawiera efekt nieliniowy. W przypadku gdy x(u„) jest funkcją liniową.    ’.

(5.127)

: ■

(5.128)

x„ — x+b(u„—u)

łatwo zauważyć podstawiając (5.127) do (5.125), że

Kz •= \K>\    - •

* W przypadku regresji wielowymiarowej do określenia związków między ’ dwiema zmiennymi losowymi,, jednowymiarową X oraz wielowymiarową [U_ly U2, ..., U_s) stosuje się współczynnik korelacji wielowymiarowej określony przez* analogię do (5.125) wzorem    •    '>'-■■■    v

•• • ■ - • • •

Y (x_n~x)(x_n—x)

/i»i

... (5.129)'

«•»*

1/ Y (*n—X)² Y (*n-x)^Z

J

•(5.130)

przy czym funkcja regresji    *    *    • j •

•^n ⁼⁼ x(u,,i, n_n2> ••• > i/„s)    ....

... ' ' przedstawia całkowity efekt zmiennych losowych tĄ, C/₂, ...•, U_s łącznie.^:

Biorąc pod uwagę niedostatki współczynnika korelacji liniowej w przypadku nieliniowych zależności funkcyjnych, K. Pcarson wprowadził do oceny zgodności funkcji regresji -z danymi doświadczalnymi "miarę zwaną stosunkiem korelacyjnym. Stosunek korelacyjny’ (ściślej jego kwaclrat) jest to stosunek wariancji punktów funkcji regresji x(u) do wariancji punktów obserwowanych X w przestrzeni korelacji

N

(5.131)

:

, _ Ą _

--TT *=

JV Y (Xn A')²

. Ponieważ, jak wykażemy dalej w p. 5.9, cHa funkcji regresji zachodzi związek (5.174) •

(5.132)

.więc

(5.133)

przy czym—jeśli wszystkie punkty obserwowane pokrywają się z punktami funkcji regresji, a więc istnieje ścisła zależność funkcyjna — to stosunek korelacyjny równy jest jedności.    4.............. ;    •    •' - X ■ *.-    _; / .• •*._;

Badanie stosunku korelacyjnego umożliwia bezpośrednie określenie, w jakim stopniu proces jest zdeterminowany przez wielkości mierzone. W pewnych-przypadkach może się okazać niezbędny pomiar dodatkowych wielkości, oddziałujących na proces, aby móc stosować efektywne sterowanie.    /

.    ■ .*•’*■ • r

1

^ł> Wyrażenie R_xu (5.124) jest współczynnikiem korelacji z próby, czyli estymatorem współczynnika regresji. Dla odróżnienia od współczynnika korelacji (2.47) stosujemy w indeksach dolnych małe litery x i //.Podobnie wyrażeniam_xu, s_x, s_u są estymatorami z.próby. Jeżeli wartości //«(«•= 1,2,..., W) były ustalone z góry w doświadczeniu, to wielkości u, nie są zmiennymi losowymi, a wyrażenie R_xu (5.124) nic jest w zasadzie współczynnikiem korelacji z próby, pomimo identycznego wzoru.