Metoda analizy 'regresyjnej. '
■ -. • ■
. . • Rozwiązując powyższy układ, zwany układem równań normalnych, otrzymuje
się szukane wartości b0, blt..., bK współczynników funkcji regresji o postaci (5.99). W przyjętym modelu matematycznym (5.99) obiektu sterowania założono częściową znajomość charakterystyki obiektu polegającą na znajomości postaci funkcji cpk(u), k = 0,1,..., K. Założenie to tylko pozornie zmniejsza ogólność rozważań. W praktyce przyjmuje się bowiem funkcje <pk(n) o postaciach:
(5.109)
; A- = bp+.buUk + y] bkki£-h 2 b‘Jl‘iuj
u-1
KJ
(5.110)
Wn1 • | ||
• (p(lł) = uk |
?r / II ►—* JO. |
..,5 ? |
<p(jl) = w* |
k * 1.2,. |
..,,5 |
.>(«) = U,Uj |
7= 1,2, . |
.., S, lecz i < j |
■"". 'A więc należy wyznaczyć na przykład charakterystykę obiektu (rys. 5.1) w postaci zależności;
Wprowadzimy obecnie dla obiektu nieliniowego formę zredukowaną funkcji . regresji, analogiczną do formy zredukowanej (5.84) w przypadku obiektu liniowego, w postaci ' . . , ’ ' •
(5.111)
którą otrzymujemy w następujący sposób. Z pierwszego równania układu równań normalnych (5.106), po uwzględnieniu (5.101) otrzymujemy
(5.112)
X~ b0+b1(p1(it)+b2(p2(ii)+ ... +bK(pK(u) przy czym: . . :
•• V N - ■
(5.113)
t * V .* ' 1 , 'l :■ . .
N
1
. <pk(") = y
k= 1,2,..., K
(5.114)
-;Odejmując równanie (5.112) od równania (5.99) otrzymujemy formę zredukowaną (5.111). ^ , :::b '
’ Zadanie identyfikacji charakterystyki statycznej nieliniowego obiektu wielowymiarowego można również prosto przedstawić w zapisie macierzowym.
Poprzednio w celu ujednolicenia zapisu macierzowego funkcji regresji wpfo-wadziliśmy do macierzy sygnałów wejściowych (5.85) zmienną fikcyjną -- ■
; ,. ':i un0 = 1 . H = 1,2, ...,N ’ (5.115)
, .‘Obecnie, podobnie, wprowadzimy funkcję ■ ••
: f dpoOO n = 1,2, ...,N ■ (5.116)
do macierzy danych wejściowych
>o("i)> •••> <Pk(j*0"
(5.117)
<Po(«2), 9>i(k2)».9»2(«2), •••> 9x(»2)
_<Po(%)> 9>i(«*)» 9>2(«jv)» •••> 9fc(%)..
Funkcja regresji (5.99), przyjmie postać zgodnie ze wzorem (5.89) x—Ub • ~ (5.118)
przy czym
*r = (*„,*i.....&*) ' • . . ; . . (5.119)
Kryterium minimalizacji (5.104) zachowa postać wzoru (5.90). Ostateczni rozwiązanie będzie mieć postać analogiczną do wzoru. (5.93)
-..b^ {UTU)-'UTx ' y- ; "•! a -: ‘-Z (5.120)
z tym jednak zastrzeżeniem, że U jest określone wzorem- (5.117), a nie wzorem (5.85)., Zgodnie z uwagami, umieszczonymi po wzorze (5.93), macierz UTU nic może być osobliwa, a więc kolumny macierzy U danych wejściowych (5.117) muszą być liniowo niezależne i liczba wierszy liniowo niezależnych powinna być nie mniejsza niż liczba K+l nieznanych współczynników bk.
W poprzednich rozważaniach omówiono szczegółowo problem wyznaczania funkcji regresji. Znajomość funkcji regresji, charakteryzującej związek funkcyjny tkwiący w zależności statystycznej, umożliwia przewidywanie przeciętnego zachowania się obiektu. Dla dowolnego zestawu wartości wielkości wejściowych Ux> U2, ..., Us można obliczyć estymator wartości oczekiwanej wielkości wyjściowej X obiektu, będącej zmienną losową.
Rys. 5.5. Pole korelacji o różnym rozproszeniu
Znajomość funkcji regresji (5.99) nie umożliwia jednak, nawet bardzo ogólnie, oceny wartości rozbieżności między naszymi przewidywaniami a danymi doświadczalnymi. Jako przykład zostaną rozważone dwa pola korelacji przedstawione na rys. 5.5. Linie regresji w obu tych'przypadkach są opisane taką samą funkcją
xn = x+b(u„—u) (5.121)