54
54
Rys.5. Ilustracja do twierdzenia Steinera
Znając moment bezwładności ciała Is względem osi przechodzącej przez środek masy S możemy z twierdzenia Steinera obliczyć: moment bezwładności tego ciała / względem dowolnej osi równoległej do niej i przesuniętej o a .
Poniżej przedstawiamy dowód twierdzenia Steinera:
(20)
rf +a*^Amj ~Is +M-a2
n n
gdzie: M = , a ^Am, ■ rt = 0 na mocy definicji środka masy.
i=i i=i
[1] J.Massalski, M.Massalska: Fizyka dla inżynierów, cz. 1. WN-T, Warszawa 1974, s.110-117.
[2] R.Resnick, D.Halliday: Fizyka, t.l. PWN, Warszawa 1983.
Ćwiczenie 3 *
1. Wprowadzenie
Równanie ruchu obrotowego ciała sztywnego wokół stałej osi ma postać
gdzie / jest momentem bezwładności ciała względem tej osi, ę jest jego przyspieszeniem kątowym (ę jest kątem obrotu ciała wokół osi, a kropka nad funkcją oznacza różniczkowanie względem czasu; ę jest drugą pochodną ę względem czasu), Mjest momentem siły, względem rozważanej osi, działającym na ciało. Jeżeli moment siły Mjest znaną funkcją kąta ę, prędkości kątowej ę i czasu t, to równanie ruchu (1) z warunkami początkowymi:
ę(0)=ę>0 oraz ę(0)= <p0 (2)
jednoznacznie wyznacza ruch ciała sztywnego.
W przypadku, gdy moment siły Mjest proporcjonalny do kąta ę i zwrócony do niego przeciwnie, równanie ruchu ma postać:
gdzie kx jest dodatnią stałą, nazywaną momentem kierującym. Źródłem takiego momentu siły są siły sprężystości: drutu, pręta, sprężyny lub podobnego elementu, do którego przymocowane jest ciało. Równanie (3) nosi nazwę równania ruchu harmonicznego. Można sprawdzić przez podstawienie, że jego rozwiązaniem jest:
<p(t) = &sm(&>t + s), (4)
Opracował A.Foryś na podstawie skryptu J.Halaunbrenner, M.Kmiecik: Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki.