skanuj0028

54

54

Rys.5. Ilustracja do twierdzenia Steinera

4.2. Twierdzenie Steinera

Znając moment bezwładności ciała Is względem osi przechodzącej przez środek masy Si możemy z twierdzenia Steinera obliczyć: moment bezwładności tego ciała / względem dowolnej osi równoległej do niej i przesuniętej o a .

Poniżej przedstawiamy dowód twierdzenia Steinera:

I = Y_JAmi(a-r_if = ^Ara,-rf ■-2aJ]Awr_ł +ct^l'Y_i&m_i = I_s+M-a², (20)

/-I    Ml    M    M

n    n

gdzie: M =    , a    A w, ■ r, = 0 na mocy definicji środka masy.

i=i    1=1

Literatura

[1]    J.Massalski, M.Massalska: Fizyka dla inżynierów, cz. 1. WN-T, Warszawa 1974, s.l 10-117.

[2]    R.Resnick, D.Halliday: Fizyka, t.l. PWN, Warszawa 1983.

i-......................ii U Ili .......................................................

Ćwiczenie 3 *

Badanie drgań tłumionych wahadła torsyjnego

1. Wprowadzenie

Równanie ruchu obrotowego ciała sztywnego wokół stałej osi ma postać

Ię=M,    (1)

gdzie / jest momentem bezwładności ciała względem tej osi, ę jest jego przyspieszeniem kątowym (<p jest kątem obrotu ciała wokół osi, a kropka nad funkcją oznacza różniczkowanie względem czasu; ę jest drugą pochodną ę względem czasu), Mjest momentem siły, względem rozważanej osi, .działającym na ciało. Jeżeli moment siły Mjest znaną funkcją kąta ę, prędkości kątowej ę i czasu t, to równanie ruchu (1) z warunkami początkowymi:

ę(0)=<p₀ oraz ę(0)= ę>₀    (2)

jednoznacznie wyznacza ruch ciała sztywnego. .

W przypadku, gdy moment siły Mjest proporcjonalny do kąta tp i zwrócony do niego przeciwnie, równanie ruchu ma postać:

Up ——k\(p,    (3)

gdzie k_x jest dodatnią stałą nazywaną momentem kierującym. Źródłem takiego momentu siły są siły sprężystości: drutu, pręta, sprężyny lub podobnego elementu, do którego przymocowane jest ciało. Równanie (3) nosi nazwę równania ruchu harmonicznego. Można sprawdzić przez podstawienie, że jego rozwiązaniem jest:

<p(t) = 0sm(a>t+s),    (4)

Opracował A.Foryś na podstawie skryptu J.Halaunbrenner, M.Kmiecik: Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki.