Skrypt

1-2_r-' 5    _

l-'2n

__2_

■2r,-l

Zad. 2.1. Zbadać monotoniczność ciągu (a_n), gdzie a_n Rozwiązanie. a_n+i - a* =    = rfr^r ~

ó{2n+l)-S(2n-l) _    10    -

(2«—l)(2n—1)    “ 4r^-l ^ ^U'

Odp. (a_n) jest. rosnący.

Zad. 2.2. Wykazać, że ciąg (a*), gdzie a_n = sinn nie jest monotoniczny. Rozwiązanie. Wystarczy pokazać, że ciąg (a_a) nie jest niemałejący ani nierosnący. , Ponieważ R" 3 sin 4 — a_A < a?_, = sin 3 £ R^T, wiec (a_n) nie jest niemałej ący. Analogicznie. ponieważ R~ 3 sin 6 = «•,, < a? = sin ? c R“, wiec (a_n) nie jest nierosnący.

Zad. 2.3. Zbadać ograniczoność ciągu (4 tg(2n — l)f).

Rozwiązanie. | a_n \~\ ~ tg(2n — l)f |= y | ( — l)⁷¹"¹ j= ~ < 1.

Odp. (a-n) jest ograniczony.

Zad. 2.4. W nieskończonym ciągu geometrycznym suma wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 9 a suma wyrazów o numerach parzystych jest równa 3. Wyznaczyć ten ciąg.

Rozwiązanie, Niech q oznacza iloraz ciągu {a_n). Łatwo zauważyć, że q² jest ilorazem zarówno ciągu o numerach nieparzystych {a-y. a\q², o.\q^A....) jak i ciągu o numerach parzystych (a-_Lq, avf’_:    • • •)• 2 warunków zadania oraz Tw.2.2 otrzy

mujemy układ równań

l--y a i ?

1—Ą ' — I

f 9 =

3 =

skąd a-i = 9(1 — q²). 3 = 9ę, czyli cp = 8. q = \ Odp. a_n - 8 • (4)^n_1.

Zad. 2.5. Obliczyć piąty wyraz ciągu arytmetycznego (log.₂a~_;.) wiedząc, że a< + a2 — ci-n = 4 oraz a$ = h.

Rozwiązanie. Z definicji ciągu arytmetycznego wynika, że log₂ a_n+1 — log₂ o_n ==' r dla n € N. Oznacza to w szczególności, że = 2^r, czyli (a_n) jest ciągiem •geometrycznym. Z warunków zadania otrzymujemy układ

f «l(l d- ę + ?²) = |

S °i«²    = |

[ ai > 0    , q > 0.

Podstawiając    do pierwszego równania, dostajemy

1 -f q — cr — -q² <=> 4 -n 4ę — 4q² =    <=? 3ę² — 4? — 4 = 0    3(ę — 2

ńt-

skąd q = 2.    = §, <25 = | ■ 2⁴ = 2.

Odp. log₂ a5 = 1.

14