Wyklad (22)

k

Der Faktor w₀ = — ist eine Eigenkreisfreąuenz der ungedampften Schwingung (częstotliwość drgań

V m

własnych) und p = — wird ais Abklingkoeffizient bezeichnet. 2 m

di).Freie geddmpfte Schwingung

Wirkt keine aiiBere Kraft, dann geht (7) in eine homogene Dgl uber

x+ 2/3 x+ w₀²x = 0    (8)

Diese ist eine lineare Dgl mit konstanten Koeffizienten bei der iibłiche Ratensatz zur charakterischen Gleichung

r² +2fir+a² =0 (9)

fuhrt. Die Nullstellen sind

^r\3 -~fi- fi²    (10)

Es werden drei Falle unterschieden

1. p² < o)₀² => <Jp² - o)₀² = i<J(o₀² - P² = / co_g mit =    (i i)

Die GróBe a>_g heiBt

Kreisfrequenz der gedampflen Schwingung

Die allgemeine Lósung lautet entsprechend (15) der vorigen Nummer

x_u-e

(C, sin cot + C₂ cos cot).

(12)

Setzt man jetzt

iC^Ąc os(p_x    (14)

|C₂ = Ą sin (f\    (15) so nimmt (12) die Form

x_h~Ae ^'(sin w_gtcosq\ +cosw^rsin q\)    (16)

an. Beachtet man die bekannte trigonometrische Formel, so erhalt man

^xh =    sin( w_gt+ </>,).    (17)

Diese Schwingung kann ais harmonische Schwingung aufgefasst werden mit einer Amplitudę

A(t) = Ąe-f    (18)

die mit wachsender Zeit exponentiell abnimmt. Man spricht hier von einer gedampften harmonischen Schwingung, obwohl der Vorgang nicht harmonisch ist d.h. er wird nicht von den Sinus- bzw. Kosinusfimktionen beschrieben.