026

Monotoniczność ciągów

Rozwiązanie:

Najpierw tworzymy wyraz następny jak w poprzednim zadaniu, tzn. 6 b_n+=(n+\?

Teraz korzystamy z definicji ciągu rosnącego. Ciąg jest rosnący, gdy różnica b ., - b >0 dla każdego n > 1.

/j+1 n    °

naturalną (większą od zera), zatem ciąg b_n jest rosnący.

Zauważamy, że 2n + 1 jest sumą zawsze dodatnią, ponieważ n > 0 jest liczbą

b_n+<-b_n = (n + l)²-_n- =

= fi- + 2n - 1 - fi- = 2n + 1 > 0

>o

Podnosimy do kwadratu, korzystając ze wzoru (a + bf = a² + 2a& + fc²

ZADANIE 4    _ _ _ _

Wykaż, że ciąg d - n² + 1 jest rosnący.

Rozwiązanie:

Najpierw tworzymy wyraz następny, tzn. d d„_+] = (n+\f+i

Teraz korzystamy z definicji ciągu rosnącego. Ciąg jest rosnący, gdy różnica ci ,, - d >0 dla każdego n > I.

ci - d = (« + 1 )² -r 1 - (n² + 1) =

korzystamy ze wzoru

= (n + I )² + 1 — n² - 1 =    {a + by = a² + 2ab + V

= fi + 2n + 1 + / - /f - / = 2/? + 1 >0

Zauważamy, że 2« + 1 jest zawsze dodatnie, bo n jest liczbą naturalną (dodatnią), zatem ciąg d_n jest rosnący.

ZADANIE 5

Wykaż, że ciąg u -

3 n + 1 .

_{+ 2} jest rosnący.

Rozwiązanie:

Najpierw tworzymy wyraz następny, tzn. h , wstawiając w miejsce n wyrażenie n + 1.

26