050(1)

x = r²

241.

d^y

y = z³-f-j obliczyć ^ dla z = 1

x = a cos³/

242.

.a ^dy

d²y

71

6

y = a sin³/; obliczyć J- dla / = 0 oraz dla / = _e.~

dx

§ 11. Styczna i normalna do krzywej płaskiej.

Kąt między dwiema krzywymi

Jeżeli krzywa plaska jest dana w prostokątnym układzie współrzędnych (rys. 38), to styczna i normalna do krzywej, przechodzące przez punkt M(x₀, y₀) tej krzywej, mają postać

•    y-yo = yó(x-x₀)

¹ / s    0)

y-yo = - —r (*-*>)

>0

gdzie pi oznacza wartość pochodnej, cbliczonej z równania krzywej w punkcie x₀.

Rys. 39

Rys. 38

Kierunek krzywej w każdym jej punkcie jest określony kierunkiem stycznej do krzywej tr tym punkcie. Kąt między dwiema krzywymi określa się jako kąt między stycznymi do krzywych w punkcie ich przecięcia się (rys. 39) i oblicza się ze wzoru

(2)

tg 9? =

w którym /r, i k₂ — współczynniki kątowe stycznych do krzywych w punkcie P(x₀, po) przecięcia się krzywych, czyli wartości szczególne pochodnych r względem x, obliczone z równań tych krzywych w punkcie .v₀

243. Napisać równania stycznej i normalnej:

1)    do paraboli y = x²—4x, w punkcie o odciętej x — 1

2)    do okręgu x²-\-y²—2x-\-4y—3 — 0, w punktach przecięcia się z osią Ox

3)    do cykloidy x — t—sint, y=l—cosf, w punkcie o parametrze

71

¹ ~ T

4) * do krzywej y = |.v³—1|, w punkcie kątowym

Rozwiązanie: 1) Podstawiając do równania paraboli odciętą punktu styczności x = 1 znajdujemy jego rzędną y = —3.

Aby obliczyć współczynnik kątowy stycznej y'₀, wyznaczamy z równania paraboli pochodną y względem x i obliczamy jej wartość szczególną w punkcie x — 1; mamy

. y' = 2x-4,    yi=y'( 1) =-2

Podstawiając obliczone wartęści x₀, >'o i y'₀ do wzorów ogólnych (1), otrzymamy odpowiednio: równanie stycznej

y-j-3 = —2(x—1), czyli 2,v!-y+l=0

oraz równanie normalnej

y+3 =    (x-1), czyli x-2y-l = 0

Na rys. 40 przedstawiono parabolę oraz szukaną styczną i normalną do niej.

2) Rozwiązując układ równań danego okręgu i osi Ox, czy 1 i y = 0, znajdujemy punkty przecięcia się okręgu z osią Ox: A — (— 1, 0) i B — — (3,0), rys. 41. Różniczkując równanie okręgu względem .v, mamy 2.v-r

|_% .

+ 2yy'—2 \ 4y' = 0; stąd znajdujemy pochodną y' — ₂— i obliczamy jej wartości w punktach A i D

Po podstawieniu tych wartości do równań ogólnych (1) otrzymamy szukane równania stycznej i normalnej.

103