059 3

Równania trygonometryczne

ZADANIE 23

Rozwiąż równanie: sin (i 0° + 3.v) + sin (10° - 3.r) = V3 sin 10° Rozwiązanie:

^3 cos 10°

10°+ 3*+ 10° 3*    10° + 3x - (10° — 3jt)

= V3 cos 10°

20°    L0° + 3x-L0° + 3x

2sin — cos---

2 sin 10° cos = V3sin 10°

2

2sin 10° cos 3x = ^ sin 10° dzielimy obustronnie przez 2 ■ sin 10° t smA-fF ■ cos 3,v _ V3_sin--Kl*^r t .sio-łO®    J-ShHA⁰

cos 3x = —

A-₀ = | (czyli 30°)

Zatem

3x = - x₀ + 2kn lub 3x = x₀ + 2kn 3x = - 30° + k ■ 360° lub 3x = 30° + 3x = - 30° + k ■ 360° /: 3 ,v = - 10° + k- 120°, k e C 3x = 30° + k ■ 360° /: 3 x = 10° + k • 120°, łeC

W równaniu tym po lewej stronie jest wzór Ver-nera na „sumę sinusów". Zastępujemy lewą stronę. korzystając ze wzoru

x + y x-y sin x + sin y - 2sm —y- cos —j-

Zastosowanie tego wzoru pozwoli po lewej stronie uzyskać równanie elementarne

cos 3x - y

Dalej postępujemy w znany sposób. Szukamy takiego kąta. dla którego cosinus ma wartość

T

Jest nim kąt g- (czyli W)

Wstawiamy znaleziony kąt do wzoru rozwiązań dla cosinusa. Następnie rozwiązujemy dwa rów nania liniowe, z każdego wyliczając x.

: • 360°

Odpowiedź

x = - 10° + *- 120° lubx = 10° + £- 120°, k e C

59