080(1)

(—00,1) jest ona wypukła, a w całym przedziale (1,+oo) — wklęsła (rys. 67).

X	-i	0	1 T	1	10
y"	-	0	-	0	+
		nie ma	___	pkt	-
y	wyp.	pkt przcg.	wyp.	przeg.	wkl.

2) I. Znajdujemy drugą pochodną

/•.-ii (*+2)-’ = -

14

25y'{x+2y

W tym przypadku druga pochodna nigdzie nie jest równa zeru, a gdy x = —2 pochodna nie istnieje.

Krzywa może więc mieć punkt przegięcia, gdy x = —2, ponieważ jest określona i ciągła na całej osi odciętych.

II. Badamy wartość x = —2, wyznaczając znak y" dla x większych i mniejszych od tej wartości. Zgodnie z tabelką x = —2 jest odciętą punktu przegięcia.    _t

Na lewo od tego punktu w całym przedziale (—oo, —2) dana funkcja ciągła jest wklęsła, a na prawo w przedziale (—2, +oo) jest ona' wypukła; >’ (-2) = 3.

X	-10	-2	0
y"	+	00	-
y	wkl.	pkt przeg.	wyp-

3)    I. Szukamy drugiej pochodnej

3    _!_

y = 10(.v l)^Y-l-30(x-l)²

——    15 x

y" = 15(3c-1)² + 15(x-1) ² -

| x-l

W tym przypadku y" jest równe zeru, gdy x — 0, a nie istnieje (równa się +co), gdy x = 1. Jednakże żadna z tych wartości x nie może być odciętą punktu przegięcia, z tego powodu, że obszarem okrcśloności krzywej jest przedział 1 < x < ;-oo. Punkt x = 0 leży więc poza tym obszarem, a x = 1 leży na jego brzegu, czyli także nie leży wew nątrz obszaru. Krzywa nie ma punktów przegięcia. W całym obszarze, w którym jest określona, krzywa jest wklęsła, ponieważ w całym tym obszarze y" > 0.

4)    1. Znajdujemy drugą pochodną

^y (*+l)⁴’ ^J (*+l)⁵

Tu y" nie może równać się zeru, a nie istnieje, gdy x = — 1. Jednak krzywa nic ma punktu przegięcia, gdy x —1, ponieważ dla tej wartości x jest ona nieciągła. Gdy x < — 1, /' < 0, a gdy x > —1, y" > 0. Dlatego w przedziale (—oo, —1) krzywa jest wypukła, a w przedziale (— 1, -f-oo) — wklęsła.

5) * I. Szukamy drugiej pochodnej

/ = ±5x⁴, y" = ±20x³

przy czym znak plus odpowiada wartościom x z przedziału (—oo, 1), w którym x⁵—1 <0, a znak minus odpowiada wartościom x z przedziału (1,+oo), w który'm x⁵—1 >0. Druga pochodna równa się zeru, gdy x = 0, a nie istnieje, gdy x = 1. Mogą to być odcięte punktów przegięcia danej krzywej, ponieważ krzywa ta jest określona i ciągła na całej osi odciętych.

II. Określając znak y" na lewo i na prawo od punktów x = 0 i x- = 1, dochodzimy do wniosku, że Jc = 0 i jc = 1 są odciętymi punktów przegięcia. Na lewo od punktu x = 0 krzywa jest wypukła, pomiędzy punktami x = 0

X	-10	0	1	1	10
			2
y"	-	0	+	nie istn.	-
y	wyp.	pkt przeg.	^ki.	pkt przeg.	wyp.

-i* 163