102(1)

472*. J	dx	podstawiamy x =	1
	x]'l+x^z		t
473*. J	" dx sin2x ’	podstawiamy tgx	= z
Obliczyć całki:
474. j	f xdx	^47S- /	\/x dx
	V x^4+i		1+]/* .
^476' J	r e^2xdx ' e^x — l	^477* /	dx xlnx
;^478- j	p cosx	^47*- /	sin 2 xdx
	' |/l+2sin^2x		|/2+cos^2x
480*.	r e^2xdx	481*. |	~\f x dx
	\ fl+e*		i+V*

§ 4. Całkowanie przez części

Ze wzoru na różniczkę iloczynu d(uv) = udv-\-vdu. po scałkowaniu obu stron, dostajemy wzór na całkowanie przez części

J udv = uv— J" v du    (*)

Wzór ten sprowadza obliczanie / udv do obliczania innej całki fvdu. Przekształcenie takie jest celowe w tym przypadku, gdy ostatnia całka okaże się prostszą do obliczenia niż całka wyjściowa lub gdy będzie tego samego typu.

Aby zastosować wzór na całkowanie przez części do obliczenia pewnej całki / f(x)dx wyrażenie podcałkowe f(x)dx trzeba przedstawić w postaci iloczynu dwóch czynników: u i dzi. Jako dv zawsze wybieramy takie wyrażenie zawierające dx, z którego przez całkowanie można wyznaczyć v, a jako u w większości przypadków przyjmujemy funkcję, która przy różniczkowaniu upraszcza się (np. arcsinx, arctg3x, Inx, xⁱ).

482. Obliczyć całki:

1) f xcosdx    2) f ~t-dx    3) j xarctgxdx

4) J arcsiaxdx    5) fx*e^3xdx    6) J e~^xcos-^-dx

Rozwiązanie: 1) Niech u = x oraz dv = cosxdx. Stąd du = dx, ® = / cosxdx = sin.r. Po podstawieniu do wzoru (*), otrzymamy

J xcosxdx = xsinx— f sinxdx = xsinx-fcosx-|-C 2) Niech « = lnx, dv    Wtedy    o = f~ =

Po podstawieniu do wzoru na. całkowanie przez

-/=

.x-³^ =

1

2.K²

części znajdujemy '

l+21nx

1 dx

2at x

!nr

2x²    4x²

-C =

dx

3) Niech u = arctgx, dv = xdx. Wtedy du--—

1 ~~ -v

i ze wzoru (*) otrzymamy

, v — J xdx = x²

/-Jzarctg**: - ^arctg*-i J

Ostatnią całkę obliczamy oddzielnie. Mamy

Jw⁼/    ***⁼ / (^1_    = *~^arcts*

- dx

0)

1+*² J l + xⁱ

Podstawiając ten wynik do równości (1) otrzymamy ostatecznie

x , x²-fl

X 1

I — -yaretg*— Y + y arctg.x+C = C-

arctgx

dx

4) Niech u — aresinw, dv = dx. Wtedy du -    ,    ' v — [ dx — x

ł/l-jc² J

i ze wzoru (*) mamy

r

sinx— ■ ,

arcsinxt/x = xarcsinx Ostatnią całkęjio przekształceniu znajdujemy za pomocą wzoru 1

^y(-²^) =

=\-y/ (l-^)"^yd(l-x²)= -(l-*²)¹

(2)

207