img144

Obliczymy całkę f cos(4r - 5) dx. Podstawienie będzie postaci y = 4x — 5. Aby móc zastosować powyższy wzór brakuje nam po lewej stronie yx = 4. Mnożąc i dzieląc przez 4 otrzymujemy

J cos(4x -b)dx = - J cos(4:r - 5) • 4 cir =

lr    1    1

-J cos y dy = - sin y = - sin(4a: - 5).

W praktyce postępujemy szybciej stosując pewne reguły mnemotechniczne. Powtórzmy jeszcze raz ostatni przykład. Mamy obliczyć całkę / = / cos(4x - 5) dx. Podstawiamy y = 4x - 5. Stąd dy = 4dx.

Czyli postępujemy tak jakbyśmy lew^rą stronę różniczkow'ali po y, a praw^rą po x. Dalej stosujemy zwykle reguły podstawiania; za 4x- 5 podstawiamy y, a za 4dx podstawiamy dy. Otrzymujemy jak poprzednio / = j /cosy dy i tak dalej.

Obliczymy całkę / = / Vl — x²dx. Podstawiamy x = sin t.. A zatem dx = cos tdt. Stąd

= / \/l^

cos ^żtdt.

sin* t cos tdt = J (

Całka / cos²1 dt (a także f sin²1 dt) będzie pojawiać się dosyć często w' naszych przykładach. Najprostszym sposobem jej obliczenia jest zastosow'anie poniższego wzoru z trygonometrii:

2 cos²1 = 1 + cos2t.

A zatem

„ , i i . „ i i cos 2t dt = —t + - sin 2t = —t + - sm t cos t.

J cos ²tdt = - J 2 cos²tdt = - J (1 + cos2 t)dt =

Musimy teraz wTÓcić do zmiennej x, pamiętając, że x = sin t. Proste wyliczenia prowadzą do w'zoru

11    1    1 n-

-t + -smtcost = -arcsina: + -xv 1 - :

Rachunki te wymagają jednak kilku komentarzy. Jak pamiętamy, cały czas milcząco zakładamy, że funkcje, którymi operujemy określone są w' pewnym przedziale. W przypadku całki I, największy przedział jaki wchodzi w' grę to przedział [-1,1] (dla x). Precyzując, podstawienie x = sint możemy traktować zatem jako funkcję zmiennej t gdzie t € [—7r2,7t2]. W przedziale tym cosinus jest dodatni. Dlatego m.in. mogliśmy napisać Vcos²1. = cost. Z tego samego pow'odu, z faktu że x = sin t wirnika, że t. = arc sin x.