116 2

116 2



rozpatrywane jako ciało, którego elementami są punkty linii prostej. Fakt ten jest podstawą zastosowań ciała liczb rzeczywistych w analizie i geometrii. Okazuje się, że również punkty płaszczyzny po wprowadzeniu na niej układu współrzędnych można utożsamić z elementami pewnego ciała będącego rozszerzeniem ciała liczb rzeczywistych. Przy tym utożsamieniu, jednej osi wprowadzonego układu współrzędnych odpowiada podciało liczb rzeczywistych.

Niech € będzie zbiorem, którego elementami są pary (a, b) liczb rzeczywistych. Elementy zbioru C nazywać będziemy również liczbami zespolonymi, a zbiór <C zbiorem liczb zespolonych. Wprowadźmy w zbiorze C działania dodawania i mnożenia za pomocą następujących wzorów (tzw. konstrukcja Hamiltona):

(I)    (a, ł>) + (a, b') = (a + a , b -f b')

(II)    (a, i?) - (a!,br) = (aa' — bb',ab' 4- arb)

dla dowolnych (a,fa), (a'r b') E C

Uwaga.

Znak „+" jest tu użyty w podwójnym sensie: między nawiasami oznacza on definiowane przez nas nowe działanie na parach, a wewnątrz nawiasu oznacza on znane nam działanie dodawania liczb rzeczywistych. Podobnie ze znakiem mnożenia.

Twierdzenie 1 - Definicja 1.1

Zbiór C z działaniami i określonymi wzorami (I) i (II) oraz z wyróżnionymi elementami zerowym (0,0) i jedynkowym (1,0) jest ciałem. Ciało to nazywamy ciałem liczb zespolonych.

Dowód polega na sprawdzeniu, że spełnione są aksjomaty teorii ciał, tzn. musimy sprawdzić, że dla dowolnych elementów (.x,y)J(xr,yr), (x",y") ze zbioru C zachodzi: elementem neutralnym dla mnożenia jest element jedynkowy (1,0), istnieje element odwrotny i prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania.

•    Liczby zespolone z działaniem „+" stanowią grupę przemienną (abelową) z

elementem neutralnym (0,0)

o Przemienność dodawania (bo dodawanie liczb rzeczywistych jest przemienne)

(*,}’) + (*',/) -(* + *'.y + y')= (%' + ar,y' + y) = (x',yO + (x,y) o Łączność dodawania (bo dodawanie licz rzeczywistych jest łączne)

((*-y) + (*>')) + (x",y") = (*,y) + ((x',y') + 0",y"))

o Elementem neutralnym dodawania jest element zerowy (0,0), gdyż

dodawanie jest przemienne i (x,y) + (0,0) = (x + 0,y+ 0) = (x,y) o Elementem przeciwnym do (x,y) jest (-*, —y), gdyż

O. y) + (-*, -y) = (*-*, y - y) = (0.0)

•    Liczby zespolone z działaniem stanowią grupę przemienną (abelową) z elementem

neutralnym (1,0)

o Przemienność mnożenia

(x,y) • (pc',yr') = (xx'yy',xy' -r xry)

(x',y') • (x,y) = (x'x-y'y,x'y + y'x) = (x' + x,y' +y)

Stąd (x,y) • (x',y') = (x',y') • (x,y)


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Wzór, według którego obliczane są punkty kandydata W = przedmiot gtówny * p + 0,1 * j p0
SAM27 (III) Aksjomat różnicy zbiorów. Dla dowolnych zbiorów A i B istnieje zbiór, którego elementam
CCF20091006036 tif którego elementami są Galileusz, Newton, Maxwell, Einstein, Bohr i setki innych
Zbiór potęgowy Terminologia: Zbiór zbiorów (tj. zbiór, którego elementami są zbiory) nazywamy rodzin
Opracowywanymi elementami projektu są: -    punkty linii rozgraniczających obszary o
ARKUSZ PV 8 Zadanie 28 (5 p.) Dany jest czworokąt, którego wierzchołkami są punkty przecięcia prosty
img?017 Zbiory liczbowe • Zbiór liczbowy to zbiór, którego elementami są liczby. -1-1-> • Oś licz
2 Zbiory i rodziny zbiorow Zbiór, którego elmentami są, zbiory, nazywamy rodzinę, zbiorów. Rodzina A
•    Ile sylab ma słowo książka? Nazwa którego elementu ma tyle samo sylab? Pokoloruj
slajd6 (2) Ciało ludzkie zawiera ponad 1014 komórek, z których tylko około 1(1% jest właściwymi&nbs
012 2 Widma rodników są położone między trzecią a czwartą Unią manganu, Fakt ten jest wykorzystywany
operator liniowy to taki 1. Operator liniowy, to taki Vymierz >dpowiedź O 3. którego współczynnik
Wersja II 1. Cialo o masie m porusza się po linii prostej wzdłuż osi OX zgodnie ze wzorem x(t)
012 2 22 Widma rodników są położone między trzecią a czwartą Unią manganu, Fakt ten jest wykorzystyw

więcej podobnych podstron