rozpatrywane jako ciało, którego elementami są punkty linii prostej. Fakt ten jest podstawą zastosowań ciała liczb rzeczywistych w analizie i geometrii. Okazuje się, że również punkty płaszczyzny po wprowadzeniu na niej układu współrzędnych można utożsamić z elementami pewnego ciała będącego rozszerzeniem ciała liczb rzeczywistych. Przy tym utożsamieniu, jednej osi wprowadzonego układu współrzędnych odpowiada podciało liczb rzeczywistych.
Niech € będzie zbiorem, którego elementami są pary (a, b) liczb rzeczywistych. Elementy zbioru C nazywać będziemy również liczbami zespolonymi, a zbiór <C zbiorem liczb zespolonych. Wprowadźmy w zbiorze C działania dodawania i mnożenia za pomocą następujących wzorów (tzw. konstrukcja Hamiltona):
(I) (a, ł>) + (a, b') = (a + a , b -f b')
(II) (a, i?) - (a!,br) = (aa' — bb',ab' 4- arb)
dla dowolnych (a,fa), (a'r b') E C
Uwaga.
Znak „+" jest tu użyty w podwójnym sensie: między nawiasami oznacza on definiowane przez nas nowe działanie na parach, a wewnątrz nawiasu oznacza on znane nam działanie dodawania liczb rzeczywistych. Podobnie ze znakiem mnożenia.
Twierdzenie 1 - Definicja 1.1
Zbiór C z działaniami i określonymi wzorami (I) i (II) oraz z wyróżnionymi elementami zerowym (0,0) i jedynkowym (1,0) jest ciałem. Ciało to nazywamy ciałem liczb zespolonych.
Dowód polega na sprawdzeniu, że spełnione są aksjomaty teorii ciał, tzn. musimy sprawdzić, że dla dowolnych elementów (.x,y)J(xr,yr), (x",y") ze zbioru C zachodzi: elementem neutralnym dla mnożenia jest element jedynkowy (1,0), istnieje element odwrotny i prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania.
• Liczby zespolone z działaniem „+" stanowią grupę przemienną (abelową) z
elementem neutralnym (0,0)
o Przemienność dodawania (bo dodawanie liczb rzeczywistych jest przemienne)
(*,}’) + (*',/) -(* + *'.y + y')= (%' + ar,y' + y) = (x',yO + (x,y) o Łączność dodawania (bo dodawanie licz rzeczywistych jest łączne)
o Elementem neutralnym dodawania jest element zerowy (0,0), gdyż
dodawanie jest przemienne i (x,y) + (0,0) = (x + 0,y+ 0) = (x,y) o Elementem przeciwnym do (x,y) jest (-*, —y), gdyż
• Liczby zespolone z działaniem stanowią grupę przemienną (abelową) z elementem
neutralnym (1,0)
o Przemienność mnożenia
(x,y) • (pc',yr') = (xx' — yy',xy' -r xry)
Stąd (x,y) • (x',y') = (x',y') • (x,y)