116 2

rozpatrywane jako ciało, którego elementami są punkty linii prostej. Fakt ten jest podstawą zastosowań ciała liczb rzeczywistych w analizie i geometrii. Okazuje się, że również punkty płaszczyzny po wprowadzeniu na niej układu współrzędnych można utożsamić z elementami pewnego ciała będącego rozszerzeniem ciała liczb rzeczywistych. Przy tym utożsamieniu, jednej osi wprowadzonego układu współrzędnych odpowiada podciało liczb rzeczywistych.

Niech € będzie zbiorem, którego elementami są pary (a, b) liczb rzeczywistych. Elementy zbioru C nazywać będziemy również liczbami zespolonymi, a zbiór <C zbiorem liczb zespolonych. Wprowadźmy w zbiorze C działania dodawania i mnożenia za pomocą następujących wzorów (tzw. konstrukcja Hamiltona):

(I)    (a, ł>) + (a, b') = (a + a , b -f b')

(II)    (a, i?) - (a!,b^r) = (aa' — bb',ab' 4- a^rb)

dla dowolnych (a,fa), (a'_r b') E C

Uwaga.

Znak „+" jest tu użyty w podwójnym sensie: między nawiasami oznacza on definiowane przez nas nowe działanie na parach, a wewnątrz nawiasu oznacza on znane nam działanie dodawania liczb rzeczywistych. Podobnie ze znakiem mnożenia.

Twierdzenie 1 - Definicja 1.1

Zbiór C z działaniami i określonymi wzorami (I) i (II) oraz z wyróżnionymi elementami zerowym (0,0) i jedynkowym (1,0) jest ciałem. Ciało to nazywamy ciałem liczb zespolonych.

Dowód polega na sprawdzeniu, że spełnione są aksjomaty teorii ciał, tzn. musimy sprawdzić, że dla dowolnych elementów (.x,y)_J(x^r,y^r), (x",y") ze zbioru C zachodzi: elementem neutralnym dla mnożenia jest element jedynkowy (1,0), istnieje element odwrotny i prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania.

•    Liczby zespolone z działaniem „+" stanowią grupę przemienną (abelową) z

elementem neutralnym (0,0)

o Przemienność dodawania (bo dodawanie liczb rzeczywistych jest przemienne)

(*,}’) + (*',/) -(* + *'.y + y')= (%' + ar,y' + y) = (x',yO + (x,y) o Łączność dodawania (bo dodawanie licz rzeczywistych jest łączne)

((*-y) + (*>')) + (x",y") = (*,y) + ((x',y') + 0",y"))

o Elementem neutralnym dodawania jest element zerowy (0,0), gdyż

dodawanie jest przemienne i (x,y) + (0,0) = (x + 0,y+ 0) = (x,y) o Elementem przeciwnym do (x,y) jest (-*, —y), gdyż

O. y) + (-*, -y) = (*-*, y - y) = (0.0)

•    Liczby zespolone z działaniem stanowią grupę przemienną (abelową) z elementem

neutralnym (1,0)

o Przemienność mnożenia

(x,y) • (pc',yr') = (xx' — yy',xy' -r x^ry)

(x',y') • (x,y) = (x'x-y'y,x'y + y'x) = (x' + x,y' +y)

Stąd (x,y) • (x',y') = (x',y') • (x,y)