148(1)

4) W tym przypadku otwarty obszar D jest ograniczony dwusieczną pierwszego kąta układu współrzędnych oraz osią odciętych (rys. 144).

709. Wyznaczyć obszary określoności następujących funkcji:

1) z = 4-x-2y    2) p    3) z = J l -.r /

i

4) q =    5) u = - -    6) v = arc sin (.vj y)

] xy    lx~ y

Rozwiązanie. Korzystając ze wskazań podanych w § 2 rozdz. I, znajdujemy kolejno:

1)    Funkcja z, jak zresztą wszystkie funkcje wymierne całkowite, jest określona (może być obliczona) dla dowolnych wartości x i y. Obszarem określoności funkcji z jest więc cała płaszczyzna xOy, czyli — oo < x < < oo, oo < y < oo. Obrazem geometrycznym tej funkcji (jej wykresem) będzie płaszczyzna przecinająca osie układu w punktach A (4,0, 0), 5(0,2, 0) i C(0, 0,'4).

2)    Funkcja p jest określona dla wszystkich wartości x,y z wyjątkiem wartości x — 0, y 0, dla których mianownik funkcji jest równy zeru. Dlatego obszarem określoności funkcji p jest cała płaszczyzna z wyjątkiem punktu (0, 0).

3)    Obszarem określoności funkcji z jest koło o środku w początku układu i promieniu r— 1 wraz z brzegiem, tj. z okręgiem x²-\-y² — 1 (obszar domknięty). Wewnątrz koła wyrażenie podpierwiastkowc jest dodatnie, n • jego brzegu—równe zeru, a poza kołem — ujemne. Graficznym obrazem funkcji jest półkula (a ściślej pólsfcra) leżąca powyżej płaszczyzny xOy (rys. 145).

4)    Funkęja q jest określona dla tych i tylko dla tych punktów płaszczyzny xOy, których współrzędne spełniają nierówność .\y > 0. Punkty te znaj-

«

duj.} się wewnątrz pierwszej i trzeciej ćwiartki płaszczyzny (jest to obszar otwarty).

51 Obszarem określoności funkcji u jest cała płaszczyzna ,\Oy z wyjątkiem prostej 2a— y -- 0, w punktach której mianownik funkcji jest równy zeru.

fo Obszarem określoności funkcji v jest zbiór wartości a. y, spełniających nierówność - 1 < x—y < 1. W płaszczyźnie xOy obszar ten przedstawia pasek, ograniczony dwiema prostymi równoległymi a ; v+ł = 0 i a y— 1 = 0 (rys. 146).

Rys. 145

Rys. 146

2_V_y

710. Dana jest funkcja <p{x,y) = —    ; obliczyć ę (1, 2), <y (3, 1), <y(a, 2a),

<f{2Jb, -b).

711.    Wykazać, że dla funkcji F(.x, y) — 3a^:v j/a⁶ y⁶ zachodzi F(rx, ty) - t-F(x, y).

712.    Przedstawić na płaszczyźnie obszary zmienności zmiennych a i y, dane za pomocą nierówności

]) -1 < a < 1, -1 < y < 1    2) a²—y² < 9, y    0

3) a² 2y² < 4. a > 0, y > 0    4) 1 < a—y < 3

713.    Wyznaczyć obszary określoności funkcji:

11 c = a²—a² —2y²

2) u = -1 2 - a² - 2y²    3) v =

_    5

4) rv = l 3a — •-

I .v

§ 2. Granica funkcji wielu zmiennych. Ciągłość

Mówimy, że liczba A jest granicą funkcji f(M) tr punkcie M₀ i piszemy

XI -.Mo

lim /(A/) = A

jeżeli różnica.f(M) —f(M₀) co do wartości bezwzględnej jest mniejsza od