174(1)

Kly

Xc= — = m

m — fj 6(M)dxdy

fj xd(M)dxdy

współrzędne środka ciężkości C i momenty bezwładności płytki względem osi Ox i Oy, i względem początku układu dane są wzorami

ffyd(M)dxdy

Mx _ D__(2)

m    m

(m_x i m_y — momenty statyczne płytki względem osi Ox i Oy; dła płytki jednorodnej <3 = const i wzory (2) upraszczają się po wyłączeniu d przed znaki całek)

(3)

(4)    . I

Ix — jj y²ddxdy, /,, = J f x²ddxdy

D    D

= J I (x²+y²)ódxdy

Dla jednorodnej bryły materialnej w kształcie w'alca (o tworzących równoległych do osi Oz), ograniczonej od góry powierzchnią z = f(x, y) i mającej za podstawę obszar D leżący na płaszczyźnie xOy (rys. 170)

| J xzdxdy    j I yzdxdy    | J z²dxdy

Xę =    -, y_c = -4-7-, Zc - -4-;- (5)

) I zdxdy

I I :dxdy

1 I ) zdxdy

831. Obliczyć masę pierścienia kołowego, jeżeli w każdym jego punkcie gęstość powierzchniowa jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości od jego środka.

Rozwiązanie. Oznaczmy przez r, i r₂ (r_t < r₂) promienie okręgów' ograniczających pierścień i umieśćmy w środku pierścienia biegun układu współrzędnych biegunowych. We współrzędnych tych równania okręgów mają ''-stać q — r₂ i g = r₂, a gęstość powierzchniowa w punkcie M(<p, o)

pierścienia jest równa <5(A/) = —₂-.

Masę całego pierścienia obliczymy ze wzoru (1), wyrażając go we współrzędnych biegunowych. Mamy

832. Obliczyć masę płytki, mającej kształt elipsy, jeżeli w każdym punkcie

płytki jej gęstość powierzchniowa jest wprost proporcjonalna do odległości

r tego punktu od małej osi elipsy, a przy r = 1 gęstość ta wynosi ?..

Rozwiązanie. Oznaczmy przez a i b półosie elipsy (a > b) i obierzmy układ współrzędnych prostokątnych tak, aby osie Ox i Oy pokrywały się z osiami elipsy. Wtedy równaniem elipsy będzie

Z warunku zadania wiemy, że w punkcie M(x, y) płytki gęstość d{M) —

= ź|x|.

Ze wzoru (1) znajdujemy, że masa prawej połowy płytki wynosi

a

D

Zatem masa całej płytki będzie równam =

833. Znaleźć środek ciężkości równoramiennego trójkąta prostokątnego, którego gęstość powierzchniowa w każdym punkcie jest wprost proporcjonalna do odległości tego punktu od przeciwprostokątnej.

Rozwiązanie. Oznaczmy przeciwprostokątną trójkąta przez AB — = 2a (rys. 175). Równania przyprostokątnych AC i BC mają wtedy postać y — Ar-f a i y = a—x.

Z warunku zadania wiemy, że w punkcie (at, y) trójkąta jego gęstość powierzchniowa wynosi ó = ky.

351