1 (38)

Rozdział 3

Ciągi i szeregi liczbowe

- Jak wskazuje tytuł, w tym rozdziale będziemy mieli głównie do czynienia z ciągami] i szeregami liczb zespolonych. Jednak podstawowe fakty związane ze zbieżnością łatwo jestl wyjaśnić w ogólniejszej sytuacji. Pierwsze trzy ustępy będą dlatego poświęcone ciągom] w przestrzeniach euklidesowych lub nawet w przestrzeniach metrycznych.

Ciągi zbieżne

3.1. DEFINICJA. Ciąg {p„} w przestrzeni metrycznej X nazywamy zbieżnym, jeśli istnieje] punkt peX, posiadający następujące własności: dla każdego e > 0 istnieje liczba całkowita j N taka, że dla n^N mamy d(p_n, p) < e (tutaj d oznacza odległość w X).

W tym przypadku będziemy także mówili, że ciąg {p„} jest zbieżny do p lub że p jest granicą ciągu {p„} (patrz twierdzenie 3.2 b)) i będziemy pisali

p„~*p lub lim p„ = p.

Jeśli ciąg {p„} nie jest zbieżny, to mówimy, że jest rozbieżny.

Należy zauważyć, że nasza definicja „ciągu zbieżnego” zależy nie tylko od {p„}, ale i od X. na przykład ciąg {!/«} jest zbieżny w R¹ (do 0), ale nie jest zbieżny w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich (gd yd{x, y) = |x—y|). W przypadkach, gdzie jest możliwa dwuznaczność, będziemy bardziej precyzyjni i będziemy dokładnie określali „jest zbieżny w X ” zamiast „jest zbieżny”.

Przypomnijmy, że zbiór wszystkich punktów p„(n = 1,2,3,...) jest zbiorem wartości ciągu {p„}. Zbiór wartości ciągu może być skończony lub nieskończony. Ciąg nazywamy ograniczonym, jeśli jest ograniczony zbiór jego wartości.

Dla przykładu rozpatrzmy następujące ciągi liczb zespolonych (wówczas X — R²):

a)    Jeśli s„ — l/n, to lim s_n = 0; zbiór wartości jest nieskończony i ciąg jest ograniczony.

b)    Jeśli s_n — n², to ciąg {s„} nie jest ograniczony, jest rozbieżny, a zbiór jego wartości jest nieskończony.

ę) Jeśli s_n - 1+[(-1)"/»], to ciąg {s„} jest zbieżny do 1, jest ograniczony, a zbiór jego wartości jest nieskończony.

«

z narad P CM

JOP A~

r ■ą t

ifhirrn

ariboKZ

Dh<

a§/fdbnk

¹ 3L3L1 Wm t, =

a)    Bu

b)    Hn