1 (41)

Ciągi zbieżne

47

takie, że n ^ N2 impli-'J,ton źNimplikuje	I Odwrotnie, jeśli zachodzi równość (2), to każdemu s > 0 odpowiada liczba całkowita N ^kiuł. że dla n > N mamy (1 ^Ksńęc dla n > N otrzymujemy * i ‘ ' lx„—xj |g { £ fayjgM < e, i- i kd x.-»x. W ten sposób a) zostało udowodnione. Twierdzenie b) wynika z a) i z twierdzenia 3.3.
Hi implikuje [s„—s| <	Podciągi
0.	[ 3L5. DEFINICJA. Niech będzie dany ciąg {p,,}. Rozpatrzmy ciąg {nk) liczb całkowitych ^kdatnich, dla których n\ < n2 < n3 < ... Wówczas ciąg {p„.} nazywamy podciągiem ciągu Jeśli ciąg {p„} jest zbieżny, to jego granicę nazywamy granicą częściową ciągu {p„}. Jest oczywiste, że ciąg {p„} jest zbieżny do p wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego podciąg jest do p. Przeprowadzenie dokładnego dowodu pozostawiamy czytelnikowi.
f mamy	3.6. TWIERDZENIE, a) Jeżeli {p,,} jest ciągiem w zwartej przestrzeni metrycznej X, to {p„} podciąg zbieżny do jakiegoś punktu X. b) Każdy ograniczony ciąg w R^k zawiera podciąg zbieżny. Dowód, a) Niech E będzie zbiorem wartości ciągu {p,,}. Jeśli £jest skończony, to istnieje £ i ciąg {«,} spełniający n\ < n2 < n3 < ... taki, że = p„ = ... = p. Podciąg {p%} ■pfczymany w ten sposób zbiega oczywiście do p. Jeżeli £ jest nieskończony, to twierdzenie 2.37 pokazuje, że £ posiada punkt skupienia fce.Y. Wybierzmy «i tak, aby d(p, p„) < ł. Przypuśćmy, że wybraliśmy już , n,. i. Na
i.JCi<W W j	1 uo:y twierdzenia 2.20 istnieje liczba naturalna h, > n,-_ x taka, że d(p, p„.) < 1/i. Tak skon-Hatraowany ciąg {p„,} jest zbieżny do p. b) Własność ta wynika z a), ponieważ twierdzenie 2.41 implikuje, że każdy ograniczony ^podzbiór R^k jest zawarty w zwartym podzbiorze R^k. 3.7. TWIERDZENIE. Zbiór granic częściowych ciągu {p„} w przestrzeni metrycznej X 1 Wmorzy domknięty podzbiór X.
Rzeczywistych i x„-*x, a	Dowód. Niech £* będzie zbiorem wszystkich granic częściowych ciągu {p,,} i niech q 1 będzie punktem skupienia zbioru £*. Mamy pokazać, że q e £*. Wybierzmy n2 tak, że p,h q. (Jeżeli taki punkt nie istnieje, to £* zawiera tylko jeden
= ftx.	1 jcnkt i nie ma czego dowodzić.) Niech 5 = d(q, pn). Przypuśćmy, że wybraliśmy już n,-Ponieważ q jest punktem skupienia £*, więc istnieje xe£* taki, że d(x,q) < 2~‘S. Zatem
unikają bezpośrednio 1	d(q, p„) < 2^1 ~‘S 1 dla i = 1,2,3,... Oznacza to, że ciąg p„ jest zbieżny do q. Wobec tego ą e £*.