211(1)

Rozwiązanie. W wyrażeniu na ogólny wyraz szeregu zastępujemy n zmienną x zmieniającą się w sposób ciągły i badamy, czy otrzymana funkcja /(x) jest ciągła i malejąca w całym nieskończonym przedziale zmienności x. Następnie znajdujemy całkę niewłaściwą funkcji f(x), przy górnej granicy dążącej do nieskończoności

+ 00

2x

?rr

= ln(+oo)—ln2 = -foo

Jak widzimy, w tym przykładzie całka niewłaściwa jest rozbieżna. Wobec tego, zgodnie z kryterium całkowym, rozbieżny jest także dany szereg.

+ 00    P

2) I ■ ^—dx — lim | (In*)^-3 J(ln.r) =

J XlD X 0-J..J.OO J

₁2ln²2    2ln²/? /    21u²2

3)    | ■_r^—~ <** = 4- lim ) (4x-|-lj² d(4x+l) =

] 4x+l ⁴

= -i- [lim 2 V4.v+1 ]o = y lim (|/4/3+1 -1) = + oo

⁴⁾ /    = ⁼

+ 00

+ CO

^,2-3

+3

-ln

1

12

limln-

P _ln 1 1 ln2

-r-^JnTl=ir

Całki niewłaściwe 2) i 4) są zbieżne, a całka 3) jest rozbieżna. W myśl całkowego kryterium zbieżności, szeregi 2) i 4) są zbieżne, a szereg 3) jest rozbieżny.

961. Zbadać zbieżność szeregów za pomocą kryterium d’Alemberta:

+ 00

+ co

+ 00

vn 3²ⁿ⁺¹    W"!    ^ V 7³ⁿ

^ 2j 2^Sn-'    ³^2 5"    ^ 2j (2n —5)1

n= 3

3 n

(2«—5)!

Rozwiązanie. Znając 11-ty wyraz szeregu, znajdujemy następny _vvraz podstawiając w wyrażeniu na /i-ty wyraz n+1 zamiast n, a następnie szukamy granicy stosunku wyrazu a„₊₁ do wyrazu a_n, gdy n rośnie nieograniczenie:

(«+l)^s

1) O_n —    >    ^"t-1    2" + ¹

q = lim = lim    = -[ lim(l + —) =~

*    «-.+«    2 \    » /    2    \ nj 2

W tym przypadku g < 1, a więc na podstawie kryterium d’Alemberta szereg l) jest zbieżny.

32n+i		32n + 3
= ’	^Ttfl	2^3"
g =	lim	°-i + l
	W-*-j-00
		<\
ni		(«+!)!
- 5« » ^a	/l + l -
0 — lim	^an , 1	= lim -

3^2K’ⁱ’³2^5w_l

^3n^2^2n+T~

n—*+co rjln

^nfl — 7

4) a_n —

(»+!)! 5-    »+l

—_;— = lim—-— = +00 5"^tJ«!    5

73-1+3

(2n—5)l⁵

(2;i-3)!

„ _r a„₊,    7^3a+3(2n—5)!

g = lim —— — i,_m __—_____ ₌ li_m

= 0 < 1

**.• a_n    (2«—3)!7^3rt    **“* (2«-4) (2n-3)./

Zgodnie z kryterium d'Alemberta szeregi 2) i 3) są rozbieżne, a szereg

4) jest zbieżny.

962. Zbadać zbieżność szeregów za pomocą kryterium porównawczego:

i) >"±.1

\ n    ( 2 \3

4- 00

a, v_l_jl+jl*•+...

1

4- 00

2) V —

«= 1

J ln/i

-.=2

ln2 ¹ ln3 ¹ ln4

4) y ¹

^{} /:} (w-f 1)3"

n=0

Rozwiązanie: 1) Porównajmy dany szereg z szeregiem harmo-nicznym (**). Każdy wyraz a_n = - V. badanego szeregu, począwszy od

\'n

425