219

436 Rozwiązania i odpowiedzi

436 Rozwiązania i odpowiedzi

3.39. Zbieżny przy b<a i rozbieżny przy b>a. 3.40. Zbieżny bezwzględnie. 3^ Zbieżny. 3.42. Zbieżny (kryterium Cauchy’ego). 3.43. Zbieżny (na podstawie kry. terium Cauchy’ego, bo Uu^n<\).    3.44. Zbieżny, gdyż spełnia warunki kryteria

Leibniza. 3.45. Zbieżny.    3.46. Rozbieżny, gdyż    —•    3.47. Zbieżny warunkowo (kryterium Leibniza).    3.48. Zbieżny warunkowo.    3.49. Zbieżny. 3.50. Zbiei.

ny. 3.51. Zbieżny.    3.52. Zbieżny.    3.53. Rozbieżny. 3.54. Zbieżny, _gdyż

3.55. Rozbieżny. 3.56. Rozbieżny, gdyż lim u„ = 10*0.

,. «n + l ,    ,

lim-= £<1.    Kozoiezny. j.^o. Kozoiezny, gayz urn u_n~ iu^o. 357

n-*ao U_n    n~* x>

Zbieżny. 3.58. Zbieżny bezwzględnie. 3.59. Zbieżny. 3.60. Rozbieżny. 3,gi Rozbieżny. 3.62. Rozbieżny. 3.63. Zbieżny. 3.64. Rozbieżny. 3,65. Zbieżny bezwzględnie. 3.66. Zbieżny dla |a|<l.    3.67. Zbieżny. 3.68. Zbieżny bezwzględnie

3.69. Zbieżny bezwzględnie. 3.70. Zbieżny. 3.71. Rozbieżny.    3.72 Zbieżny. 3.73.

Rozbieżny. 3.74. Zbieżny. 3.75. Zbieżny. 3.76. Rozbieżny.

3.77. Szereg przemienny, wyraz ogólny dąży do zera, lecz kryterium Leibniza nie jest spełnione, gdyż ciąg wartości bezwzględnych nie jest monotoniczny:

.    1    1    2    2    1    1    2    2    1 2n + l 1    1    1

2>—, —< —, —> —, —<—, ...,-----> — = — • —.

2    2    3    3    4 ’ 4    5 2n-l 2n 2w(n-l) 2n 2 n

*    1

ale szereg harmoniczny Y — jest rozbieżny, więc i dany szereg jest rozbieżny. n = i n

3.78.    Zbieżny, jako przemienny i spełniający kryterium Leibniza.

3.79.    Rozbieżny.

3.80.    Zbieżny dla a>10. Oprzeć się na tożsamości _a'^osb = b^losa

® 1

3.81.    Zbieżny. Porównać z szeregiem £ ~~i’

»=i n

3.82. Tak.	3.83. Nie. 3.84.	ę. 3.85. Zbieżny. 3.86.		00 1 n = 1	1
					n(n +1)
DO ROZDZIAŁU V		4
5.19. 2.	5.20. 4.	5.21. -2.	5.22. 12.		5.23. -27
5.24. 1.	5.25. -4.	5.26. ±	5.27. -6.		5.28.
5.29. 1.	5.30. 5.	5.31. -00.	5.32. im.		5.33. n.
5.34. i.	5.35. 1.	5.36. 5.	5.37. |.		5.38. i.
5.39. 0.	5.40. 2/it.	5.41. -1.	5.42. i.		5.43. 8/n.
5.44. f.	5.45. 2.	5.46. i.	5.47. -I.		5.48. +00
5.49. 1.	5.50. -i.	5.51. e.	5.52. e'^3.		5.53. e^nk.

5.54 Ciągła dla wszystkich x.    5.55. Ciągła dla wszystkich x.

5 56. Ciągła dla wszystkich x/0. W punkcie x=0 mamy lim /(x) =/( 0) = 1,    lim f(x) = -1.

*-• + 0    X--o

5.57. Funkcja ciągła na całej osi liczbowej z wyjątkiem punktu x = 0, w którym jest ^ustronnie nieciągła.

5.58. Funkcja jest nieciągła w punkcie x=\.

5.59.    Funkcja ciągła na całej osi liczbowej z wyjątkiem punktów całkowitych x =

=0, ±1» ±2.....w których jest prawostronnie nieciągła.

5.60.    Funkcja ciągła na całej osi liczbowej z wyjątkiem punktów całkowitych x= ₌0, ± 1, ±2, ..., w których jest obustronnie nieciągła.

5.61. /(O) = 0,5.    5.62. /(0) = 0.    5.63. /(0) = 2.    5.64. 6/a; b\a.

5.65.    Granica lewostronna: 0, jeśli a<0; +00, jeśli b>0, a>0; -00, jeśli b<0, a>0; 0, jeśli b=0. Granica prawostronna: 0, jeśli a>0; 0, jeśli 6 =0; —00, jeśli a<0, b>0; + 00, jeśli a<0, b<0.

5.66.    Granica lewostronna -1, granica prawostronna 1.

5.67.    Granica lewostronna +00, granica prawostronna 0.

5.68.    Granica lewostronna 0, granica prawostronna +00.

5.69.    Granica lewostronna granica prawostronna 0.

5.70.    Granica lewostronna 0, granica prawostronna 0, ale funkcja nie jest ciągła w punkcie x=0, gdyż nie jest określona w tym punkcie.

5.71.    Granica lewostronna 0, granica prawostronna +co.

5.72.    Granica lewostronna f, granica prawostronna 0.

/(*) =

0; 0.	5.75.	c; b. 5.76. x
3x	dla
3	dla
2x —1	dla	2<x<3,
5	dla	3<x<4,
JC + 1	dla	4<x<5,
6	dla	5s$x< + 00.

>—c/b, x₂-* + co.

5.78. AB-* + co, CB-+ +co, ZBCD-+0, -MCB->180°.    579. 4.    580.

5.73.    0; nie istnieje. 5.

5.77. Mamy

Funkcja ciągła na półprostej <0, +00) .

5.81. Granica lewostronna i prawostronna 1; /(0) = 2 (lód i woda); w punkcie t= 0 funkcja nie jest ciągła.