239(1)

4) Dane równanie mnożymy obustronnie przez dx oraz rozkładamy współczynniki przy dx i dy na czynniki. Otrzymamy

2^x2^y dx+3^x3~^2y dy = 0

Mnożąc obustronnie to równanie przez 2~^y 3~* rozdzielamy zmienne 2^x3-^xdx+3-^2y2-*dy = 0

Następnie całkujemy

1067. Znaleźć całkę szczególną równania, która by spełniała podany obok warunek początkowy:

2) s = s' cos~t lns;    s(ri) = 1

Rozwiązanie: 1) Rożdzielając zmienne oraz całkując, znajdujemy najpierw całkę ogólną danego równania

tgxdx+y- = 0;    — ln|cosz|+ln|y| = InC

|y| = Cjcosx|; y = ±Ccoąx = C^cos*

Teraz, korzystając z podanego warunku początkowego, podstawiamy do

całki ogólnej wartości zmiennych (x = -j-, y = — l) i wyznaczamy odpowiednią wartość stałej dowolnej

— 1 = Cj cos ~ ; Cj = — 2

Dla tej wartości Ci z całki ogólnej otrzymujemy szukaną całkę szczególną, czyniącą zadość danemu warunkowi początkowemu: zatem y = —2cosx.

scc

2) Mnożąc dane równanie przez —-— dt, rozdzielając zmienne secHdt = ¹

t = i-ln²s+C

Wobec tego szukaną całką szczególną jest ln²5—2tgt = 0.

Rozwiązać równania różniczkowe (czyli znaleźć ich całki ogólne):

1068. (y-\-xy)dx-\-(x—xy)dy = 0    ^1069. yy'-Ą-x = 1

1070. sinacos/3r/a = cosasin/3*//?    1071. l-j-(l+/)ć^y = 0

1072. 3e^x sin y dx = (e^x~ 1) sec y dy 1073*. .v²(2>'/ — 1) = 1 Znaleźć całki szczególne poniższych równań, dla podanych obok warunków początkowych:

1074.    /+xry' = 0;    y(-1) = 1

1075.    2(1 +e^x)yy' = e^x; ytO) = 0

1076.    (\Ą-x¹)y*dx—(y¹—\)x¹dy = 0;    >'(1) = —1

§ 3. Równania różniczkowe pierwszego rzędu jednorodne względem x i)’

Mówimy, żc równanie pierwszego rzędu y' = f(x, y) jest jednorodne względem x i y, jeżeli funkcję f(x,y), występującą po prawej stronie tego równania, można wyrazić jako funkcję samego tylko stosunku obu tych

zmiennych, czyli f(x,y) = </    )• Mówiąc krótko, chodzi tu o równania

Podstawiając teraz wartości początkowe t — n, 5=1, wyznaczamy odpowiednią wartość C

postaci y' = <p

Równania tego typu całkuje się przez sprowadzenie do równań o zmiennych rozdzielonych za pomocą zamiany funkcji y (albo x) na nową funkcję u, wg wzoruj = ux (albo x = uy).

1077. Scałkować równania:

U (x?^Jry²)dx—2xydy = 0,    2) y—xy' — yln ~

3) xdy—ydx = ydy, przy warunku y(— 1) = 1

Rozwiązanie: 1) Rozwiązując dane równanie względem pochodnej

^{J 1} Metody rozwiązywania zadań 481

x

1

całkując, znajdujemy całkę ogólną