426907382

Wykład 1

6

Równanie (1.3) możemy rozwiązać przez rozdzielenie zmiennych:

f 1

dx , r

nujen

= J kdt + C.

J x(N — x)

Całkując lewą stronę przez podstawienie, otrzymujemy:

f 1

kdt + C.

J x(N — x)

(Formalnie można było od razu napisać

dx

dx

x(N — x)

= kdt,

czyli

IiW^j⁼f^kdt+c-

Całkowanie przez podstawienie jest uzasadnieniem poprawności tych napisów. Można także powołać się na język form różniczkowych).

= ^kt+c’

log|x| + log |iV — rc| = Nkt + C.

C oznacza tutaj dowolną stałą, dlatego zamiast NC, piszemy C.

W ostatnim równaniu możemy |x| zastąpić przez x, gdyż dla 0 < x < N mamy ^ > 0. zatem x{t) jest funkcją monotoniczną rosnącą; jej wartość nie może spaść poniżej 0. Podobnie |N — x\ można zastąpić przez N — x (x < N). Jeśli nawet w pewnym momencie to: x = N, to dalej, dla t > to, x(t) = N, bo dla x — N: x — kx(N — x) = 0. Dla x> N równanie możemy uznać za nieokreślone, ze względu na interpretację fizyczną. Można je jednak dookreślić, np. tym samym wzorem (1.3). Wówczas x(t) > N, jeśli x(0) < N, nie jest możliwe, bo dla x > N, § = kx(N - x) < 0.

\\\\\\\\\

Rysunek 1.5: Rozwiązanie x(t) nie może przejść przez prostą x = N.

Zatem

-M_TT=C-e^mt.

-i(t)