426907373

16

Wykład 3

Przykład

Jednym z rozwiązań jest x = 0. Policzymy inne. Mamy:

dx    ,    1    _

— = dt więc--= i — G.

ar    x

Zatem

^{x(t) =} ćh-

Dla t /* C mamy x(t) /* oo, dla t C mamy x(t) \ —oo. Chociaż F określone jest na całym Rx R, rozwiązania są wysycone na półprostych (—oo, C), (C, oo) dla C € R. Dla t /* C mamy ucieczkę do oo w „skończonym czasie”.

Rysunek 3.1: x = x² - dziedzinami rozwiązań wysyconych są półproste.

Lemat 3.1 (Gronwall - wariant całkowy liniowy) Niech K > 0, C > 0, to < <i- Jeśli funkcja ciągła rzeczywista, nieujemna v: [<o, £i] —> R spełnia nierówność:

v(t) <C+ [ K • v(s)ds    (3.1)

Jto

(3.2)

dla wszystkich t £ [t₀, ti], to, także dla wszystkich t E [to>^i] spełnia nierówność: v(t) < Ce^K'*-^te>.

Dowód lematu Gronwalla

Załóżmy najpierw, że C > 0. Oznaczmy U(i) = C + f_tQ K ■ v(s)ds. Ponieważ K,v > 0, mamy U(t) > 0. Zachodzi także U'(t) = K • v(t). Założenie (3.1) mówi, że v(t) < U{t). Zatem (log U(t))' = %§<K , co oznacza, że:

logC/(t) - log U (to) = f (logU(s))'ds < K(t-1₀).

Jt₀