257(1)

Zastępując v w równaniu (9) przez —, rozdzielając zmienne oraz całkując, otrzymamy

⁹(l)

d(s- 9)

\ 8

^ dl: ln|s-9+ | (y—9)¹ —1| = d-°— t_+C2

18

Y(s-9f-l

Stałą c₂ wyznaczamy z warunku początkowego: dla t — 0, 5 = 10. Mamy lnl = ć₂, c₂ = 0 oraz

t = 4=ln|*-9+j (s~9)¹- l]    (10)

V 8

₇ Czas, w ciągu którego cały łańcuch ześlizgnie się z haka, znajdujemy z równania (10), podstawiając 5=18

i =

3

f8 .

In (9+ i 80) x 2,9 (sek)

Prędkość łańcucha w chwili początkowej swobodnego spadania znajdujemy z równania (9), podstawiając s = 18

v — - s: 9,3 (m/sek)

1170. Kulka stacza się po gładkiej rynience, wygiętej na kształt cykloidy (rys. 218). Nie uwzględniając ani tarcia podłoża, ani oporów powietrza znaleźć: l)zależnóść drogi przebytej przez środek ciężkości kulki, od czasu,

Rozwiązanie. Jeżeli ciało o masie m porusza się w dowolny sposób w płaszczyźnie albo w przestrzeni, to wypadkowa F sił przyłożonych do ciała i przyspieszenie w środka ciężkości ciała są związane zależnością mw — F (druga zasada Newtona).

Z tego związku wektorowego można otrzymać związki pomiędzy wielkościami skalarnymi, przez zrzutowanie wektorów F i h> na dowolny kierunek. Jeśli więc rzut w na dowolną oś oznaczymy przez w_k, a rzut F na tę samą oś przez F_k, to mw_k = F_k.

Zgodnie z tym prawem mechaniki, rzutując przyspieszenie środka ciężkości kulki oraz siłę wypadkową działającą na nią na kierunek styczny do toru ruchu (czyli do cykloidy). otrzymamy równanie różniczkowe ruchu środka ciężkości kulki

= mg sin ot

(U)

gdzie: s = AM — droga przebyta przez kulkę w czasie /, m—jej masa, g — przyspieszenie ziemskie.

1) Ażeby w otrzymanym równaniu występowały tylko dwie zmienne, trzeba wyrazić sina w funkcji s, na podstawie równań parametrycznych cykloidy, które w przyjętych na rysunku współrzędnych prostokątnych mają postać: x — a(<p—siny), y = a(l-!-cosę>).

Znajdujemy najpierw pochodną

, _ dy _ —asmyckp _    2 sin-y cos “ ^    ^

dx a{\ —coswjdcp    _ . , <P    ^Ct^ 2

2 sin² ~y

a potem różniczkę długości łuku cykloidy

ds

~ y l + (/)² dx = j/l+ctg²y • 2asin² | dtp = 2a sin —dtp

°raz długość łuku AM

s = J 2a sin d<p = 4 a o

Wynika stąd, że cos — 1—    , a z rysunku odczytujemy że y' —

lg(rr—a) = — tgcc. Wobec tego

cos

9’

4a 1—cos - -

(*)

1

w ciągu jakiego czasu kulka stoczy się od najwyższego początkowego) punktu rynienki do jej najniższego punktu: a) tocząc się po rynience^ i b) tocząc się po linii prostej.